Muha_ и фаза комплексных чисел

[Muha_]

Точно так же будучи инженером-энергетиком испытал диссонанс узнав про комплексные числа. С годами выбрал для себя следующее объяснение.
Положительные числа можно складывать, но в обратная операция не всегда возможна. Добавляем один бит к числу (знак), проблема решается. Действительные числа можно возводить в действительную степень, но обратная операция опять не всегда возможна. Заменяем бит (знак) на непрерывную фазу, проблема опять решается.
Полученная конструкция из математических объектов (комплексных чисел) и операций с ними оказывается невероятно гибкой и самодостаточной. Поэтому неудивительно, что она хорошо "накладывается" на множество проявлений физической вселенной.
Поскольку комплексное число - это величина с фазой, то в основном комплексные числа описывают нечто вроде колебаний, но не обязательно. Искать конкретный физический смысл комплексного числа не нужно, комплексное число (как и действительное) - это просто очень универсальный прием мышления. А природа такова, что у простых и универсальных моделей очень много шансов отразиться в реальности.
На один вопрос до сих пор не нашел ответ:
Почему фаза комплексного числа меняется от 0 до $2 \pi$? Почему, например, не от 0 до 1? Это условность или нет? Если нам нужна фаза, при чем здесь длина окружности ($\pi$)?

[arseniiv]

Muha_ в сообщении #1501375 писал(а):

Почему фаза комплексного числа меняется от 0 до $2 \pi$? Почему, например, не от 0 до 1? Это условность или нет? Если нам нужна фаза, при чем здесь длина окружности ($\pi$)?

Тут дело в естественном изоморфизме группы $\mathrm U(1)$ комплексных чисел единичного модуля (по умножению), связанной с комплексной «плоскостью» $\mathbb C$, и группы $\mathrm{SO}(2,\mathbb R)$ вращений вещественной плоскости (по композиции). С последней связана тригонометрия, с первой фаза («знак») комплексного числа. Аргумент комлексного числа — это аргумент, в прямом смысле, соответствующих его фазе косинуса и синуса. То, что косинус и синус (или комплексная экспонента $t\mapsto \exp i t$ определяются так, чтобы их периодом было $2\pi$, уже имеет смысл не обязательно из-за длины окружности (можно например считать это совпадением), а из-за например удобства дифференцирования: если захотеть любой другой период, после дифференцирования функция начнёт умножаться на константу, отличную от 1. Удобнее, когда это 1!

[realeugene]

Muha_ в сообщении #1501375 писал(а):

Почему фаза комплексного числа меняется от 0 до $2 \pi$?

Потому что $e^{\pi i}=-1$
Экспонента при этом продолжена с действительной оси на всю комплексную плоскость аналитически.

[Odysseus]

Muha_ в сообщении #1501375 писал(а):

Почему фаза комплексного числа меняется от 0 до $2 \pi$? Почему, например, не от 0 до 1? Это условность или нет? Если нам нужна фаза, при чем здесь длина окружности ($\pi$)?

Добавлю также обычную интерпретацию на школьном уровне :)

Потому, что при геометрическом представлении комплексных чисел фаза (или аргумент) это угол между вектором представляющем комплексное число и осью абсцисс, который может меняться от $0^{\circ}$ до $360^{\circ}$, т.е. от $0$ до $2 \pi$ если измерять углы в радианах, как обычно и делают.

Собственно, и для целых чисел можно ввести "фазу", которая будет равна $0$ для положительных чисел и $\pi$ для отрицательных (согласно известному выражению $e^{\pi i}=-1$), т.е. она тоже будет меняться от $0$ до $2 \pi=0$, просто дискретным образом.

[StaticZero]

Odysseus в сообщении #1501385 писал(а):

от $0$ до $2 \pi$ если измерять углы в радианах, как обычно и делают.

Или от 0 до $\tau$. Или если ввести систему единиц $2 \pi = 1$, то будет и до 1

[irygaev]

Muha_ в сообщении #1501375 писал(а):

Почему фаза комплексного числа меняется от 0 до $2 \pi$? Почему, например, не от 0 до 1? Это условность или нет?

Когда-то я написал вроде бы неплохой пост про осмысление комплексных чисел (только философские замечания про рост, развитие и хождение по кругу там лучше игнорировать). Там в том числе рассмотрен этот вопрос. Но в целом, да, потому что углы измеряют в радианах, а измеряют так потому, что при этом производные имеют самую простую форму.

[arseniiv]

Кстати когда говорят об изменении аргумента в каких-то пределах, это не совсем верно. Главное значение аргумента — одна из ветвей многозначного аргумента, выделяемая одним из нескольких принятых способов (иногда её значения — $(-\pi;\pi]$), это да, а сам аргумент имеет значения в $\mathbb R/2\pi\mathbb R$, что топологически такая же окружность как и $\mathrm U(1)$.

[Viatcheslav1]

Прошу прощения, если окажусь неправ.
Дело в том, что далеко не все физики - фотографы, и не все фотографы - физики.
И уж, тем более, далеко не у всех людей помоложе был нецифровой фотоаппарат.
Поэтому многие могут и не знать, что если взять старый плёночный фотоаппарат с функцией наводки на резкость, например, Зоркий-С (зеркальный Зенит тоже подойдёт), стать перед зеркалом и навести резкость на самого себя, то расстояние до человека в зеркале окажется вдвое больше расстояния до самого зеркала. И это совпадает с теорией хода лучей в зеркале и мнимым изображением, но далеко не все проверяли этот факт на практике.
Так вот (заранее говорю - я не физик), складывается впечатление, что существование комплексных величин можно доказать на практике с помощью старого оптического дальномера. Реальная величина - расстояние до зеркала (например, 1 метр). Мнимая величина - ещё один метр до объекта. Все сходится: 1 +1i. А если позади фотографа кто-нибудь стоит, то расстояние до него будет 1+ 2i. Заодно, школьникам нужно взять в толк, что самое главное в мнимой величине не корень квадратный из минус единицы, а то, что квадрат мнимой единицы равен минус одному, так как именно этот факт и используется на практике, например при выводе формулы Эйлера, и тогда они, возможно, перестанут спрашивать, чему же всё-таки равно i.

[arseniiv]

Viatcheslav1 в сообщении #1501406 писал(а):

Реальная величина - расстояние до зеркала (например, 1 метр). Мнимая величина - ещё один метр до объекта. Все сходится: 1 +1i.

Ну тут на самом деле сходятся только названия: действительное и мнимые изображения названы так не по тем же причинам, почему числа $x i$ назвали исторически неудачно «мнимыми» и так и не перестали называть. Как только подключим алгебру, вся кажущаяся связь развеивается…

[Muha_]

arseniiv в сообщении #1501376 писал(а):

а из-за например удобства дифференцирования: если захотеть любой другой период, после дифференцирования функция начнёт умножаться на константу, отличную от 1.

Попробовал это осознать. Фазу комплексных чисел можно записывать в разных "единицах", например в градусах. Этот выбор не влияет ни на что, пока мы не выполняем операции, в которых фазу приходится складывать или умножать с мнимой величиной. Для выполнения таких операций нужно определиться и интервалом изменения фазы (выразить интервал фазы в "единицах" мнимых величин).

Сейчас попробовал оттолкнуться от идеи с производной экспоненты и до меня дошла суть выбора радиан в качестве единиц для фазы комплексного числа. Этот выбор означает, что для числа с модулем 1 и фазой стремящейся к нулю величина фазы численно будет равна мнимой части. Только при таком выборе функция, производная которой равна значению этой же функции записывается как показательная функция.
Этот выбор не выглядит как что-то неизбежное, скорее выглядит как "лайф-хак".

Можно выбрать другой интервал для фазы, например, измерять фазу в градусах от 0 до 360. Тогда получится другая система комплексных чисел, не изоморфная системе с радианами в том смысле, что одни и те же числа будучи подставлены в одни и те же операции дадут разные результаты в двух разных системах.
Тут возникает много вопросов. Чем плоха например система с фазой от 0 до 360? Будут ли в ней осуществимы все те же операции, как в правильных комплексных числах? Если да, то что будет если мы попробуем применять ее в физике для моделирования колебательных процессов, СТО, КМ? Будет работать, но с множеством сложных костылей, или по какой-то причине окажется непригодной вообще?
В целом понятно, что никаких "настоящих" комплексных чисел где-то в платоновском мире идей не существует, мы просто выбираем те способы мышления, которые работают наилучшим образом. Но здесь остается открытым вопрос - альтернатива фазе в радианах вообще не работает или работает но со сложностями.

[Viatcheslav1]

Цитата:

Но здесь остается открытым вопрос - альтернатива фазе в радианах вообще не работает или работает но со сложностями.

В классическом учебнике Бессонов Л. А. "Теоретические основы электротехники" радианами вообще не заморачиваются - все расчёты комплексных переменных даются в градусах. Сделал для Вас фотку, но разместить её не удалось, так как страница генерирует ошибку о невозможности определить размер изображения.
Перейдите сюда:
https://ibb.co/KW8jRwv
В электротехнике буква $i$ заменена на $j$, поскольку $i$ уже занята силой тока

[Muha_]

Viatcheslav1 в сообщении #1501446 писал(а):

радианами вообще не заморачиваются - все расчёты комплексных переменных даются в градусах.

Значение этого выражения при x в радианах получается равным 1:

$$\lim\limits_{x\to 0} {\frac{e^{i x} - 1}{i x}}$$

Если попробовать вычислить значение этого выражения для x в градусах, получится неправильный результат.
Равенство этого выражения 1 нужно для того, чтобы производная экспоненты была равна экспоненте.

[Odysseus]

Muha_ Извините, но мне кажется вам стоит почитать учебники по математике. Вы, скажем так, несколько фантазируете без уверенного понимания того, о чем говорите. И при этом вы часто используете терминологию, которая не является стандартной, поэтому сложно понять, что вы имеете в виду.

Muha_ в сообщении #1501444 писал(а):

Этот выбор не влияет ни на что, пока мы не выполняем операции, в которых фазу приходится складывать или умножать с мнимой величиной.

Можете уточнить, что именно вы понимаете под "фазой"? Мне кажется, у вас не вполне стандартное понимание этого термина. Ну и не всегда она умножается с мнимой величиной. Например, в $e^{i \varphi}$ умножается, а в $\cos \varphi + i\sin \varphi$ - нет.

Muha_ в сообщении #1501444 писал(а):

Для выполнения таких операций нужно определиться и интервалом изменения фазы (выразить интервал фазы в "единицах" мнимых величин).

Muha_ в сообщении #1501444 писал(а):

Этот выбор означает, что для числа с модулем 1 и фазой стремящейся к нулю величина фазы численно будет равна мнимой части.

Это тоже что-то странное. Интервал фазы выражается не в мнимых величинах.

Ну и так далее. Под "изоморфизмом", вы, например, тоже понимаете что-то свое. А здесь

Muha_ в сообщении #1501444 писал(а):

В целом понятно, что никаких "настоящих" комплексных чисел где-то в платоновском мире идей не существует

нужно или отрицать платоновский мир идей воообще (что есть личный субъективный выбор), или лучше так не высказываться. Комплексные числа такие же "настоящие", как и все остальные, с которыми работают в математике. Т.е. или вообще все числа в нем существуют, или никакие.

Muha_ в сообщении #1501444 писал(а):

Но здесь остается открытым вопрос - альтернатива фазе в радианах вообще не работает или работает но со сложностями.

Работает, вам же уже писали об этом выше. Просто будет менее удобной, поскольку в производных будет добавляться дополнительный множитель. Если аргумент измерять в радианах, то, например, производной от $\sin x$ будет $\cos x$, а если в других единицах, то будет появляться дополнительный множитель. "Обычные градусы" от $0^{\circ}$ до $360^{\circ}$ это несколько искусственное построение, и при стандартном определении тригонометрических функций в качестве их аргументов используются не такие градусы, а радианы. Иначе, например, будет не $\cos 2\pi = 1$, а $\cos 360 = 1$, значит 360 появится в разложении косинуса в ряд Тейлора и т.д.

[Viatcheslav1]

Muha_ в сообщении #1501450 писал(а):

Viatcheslav1 в сообщении #1501446 писал(а):

радианами вообще не заморачиваются - все расчёты комплексных переменных даются в градусах.

Значение этого выражения при x в радианах получается равным 1:

$$\lim\limits_{x\to 0} {\frac{e^{i x} - 1}{i x}}$$

Если попробовать вычислить значение этого выражения для x в градусах, получится неправильный результат.
Равенство этого выражения 1 нужно для того, чтобы производная экспоненты была равна экспоненте.

Чёт у меня всё равно единица выходит.
Если учесть, что
$e^{ix}= \cos x +i\sin x$
то вся формула сведётся к первому замечательному пределу.
Неужели для первого замечательного предела есть разница между градусами и радианами?
Ну, не знаю. Может и есть.
Я, кстати, не спорю. Самому интересно.

[StaticZero]

Viatcheslav1 в сообщении #1501454 писал(а):

Неужели для первого замечательного предела есть разница между градусами и радианами?

В знаменателе есть, конечно, вопрос, что считать "делением на градусы". Но если просто делить на численное значение градусов, то

$$ \frac{\sin 0{,}003^\circ}{0{,}003}, \quad \frac{\sin 0{,}003}{0{,}003} $$

это разные вещи, в самом деле.

-- 17.01.2021 в 01:19 --

Someone в сообщении #1501442 писал(а):

Всегда ударение было на втором слоге.

Интересно. А с вещественными/действительными числами как? Про это есть такого же рода байка