Предельные точки последовательности

[yurasmolensk43]

Задача: указать все предельные точки последовательности - дробная часть от $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$. Интуитивно понятно, что это все точки [0;1), но совсем строго доказать не получается. Понятно, что скорее всего нужно использовать тот факт, что каждый последующий член последовательности будет находиться на меньшем расстоянии от предыдущего. И уже от этого как-то доказывать, что в любой $\varepsilon$-окрестности любой точки [0;1) будет бесконечно много членов последовательности.

[mihaild]

Пусть точки с номерами больше $m$ не попали в какой-то интервал длины $\frac{1}{m}$. Что в этом случае можно сказать про остаток ряда, начинающийся с $m+1$-го члена?

[yurasmolensk43]

mihaild в сообщении #1501228 писал(а):

Пусть точки с номерами больше $m$ не попали в какой-то интервал длины $\frac{1}{m}$. Что в этом случае можно сказать про остаток ряда, начинающийся с $m+1$-го члена?

Не совсем понял вопрос. Что значит остаток ряда?

[mihaild]

yurasmolensk43 в сообщении #1501233 писал(а):

Что значит остаток ряда?

Сумма, начинающаяся с $m+1$-го члена - т.е. $\sum\limits_{k=m+1}^n \frac{1}{k}$.

[yurasmolensk43]

А как вообще такое возможно, что все точки с номерами больше $m$ не попали в интервал длины $\frac{1}{m}$? Если эти точки оказались сначала правее данного интервала, то рано или поздно целая часть суммы ряда станет больше на единицу, а значит последующие точки окажутся левее интервала и будут приближаться к нему, причем с "шагами", меньшими, чем $\frac{1}{m}$, а значит рано или поздно какая-то точка попадет внутрь этого интервала.

[mihaild]

yurasmolensk43 в сообщении #1501238 писал(а):

А как вообще такое возможно, что все точки с номерами больше $m$ не попали в интервал длины $\frac{1}{m}$?

Так целью как раз является доказать, что такое невозможно. Понятно ли, как из того, что это невозможно, доказать, что все точки полуинтервала - предельные?

[iifat]

Уж не скажу навскидку, как это строго выразить.
Берём бесконечную в один конец нитку. Начало помечаем нулём, помечаем точки $\sum\nolimit_{k=1}^n\frac1k$.
Берём окружность длины 1.
Наматываем бесконечную нитку на окружность, получая бесконечное же число витков.
Берём произвольную точку на окружности. Над ней бесконечное число витков, и на каждом она находится меж двух помеченных точек нити...

-- 16.01.2021, 03:30 --

mihaild в сообщении #1501242 писал(а):

все точки полуинтервала - предельные

А почему, собственно, полуинтервала?

[mihaild]

iifat в сообщении #1501243 писал(а):

А почему, собственно, полуинтервала?

yurasmolensk43 в сообщении #1501225 писал(а):

$[0;1)$

[iifat]

mihaild: и он тоже, имхо, ошибается. Единица — вполне себе предельная точка, наравне с нулём.

[yurasmolensk43]

mihaild в сообщении #1501242 писал(а):

yurasmolensk43 в сообщении #1501238 писал(а):

А как вообще такое возможно, что все точки с номерами больше $m$ не попали в интервал длины $\frac{1}{m}$?

Так целью как раз является доказать, что такое невозможно. Понятно ли, как из того, что это невозможно, доказать, что все точки полуинтервала - предельные?

Берём любую точку полуинтервала [0;1). Тогда для любого $\varepsilon$ найдется такое $m$, что $\frac{1}{m}$<$\varepsilon$. Повторяя рассуждения выше, приходим к выводу, что в любой эпсилон-окрестности любой точки из полуинтервала [0;1) будет хотя бы одна точка, а значит и бесконечно много. Считается такое доказательство? И еще вопрос - точка 1 же тоже будет предельной? В начале я почему-то ее не включил.

-- 15.01.2021, 22:46 --

iifat в сообщении #1501246 писал(а):

mihaild: и он тоже, имхо, ошибается. Единица — вполне себе предельная точка, наравне с нулём.

Да, я тоже об этом подумал.

[ewert]

yurasmolensk43 в сообщении #1501249 писал(а):

точка 1 же тоже будет предельной? В начале я почему-то ее не включил.

Естественно, будет. И даже не потому, что последовательность именно такая, а просто потому, что единица -- это предельная точка полуинтервала.

yurasmolensk43 в сообщении #1501249 писал(а):

будет хотя бы одна точка, а значит и бесконечно много. Считается такое доказательство?

Формально -- не считается. Почему, собственно, бесконечно много? Это надо обосновывать.

Но лучше не обосновывать, а построить для каждого $x\in[0;1]$ требуемую подпоследовательность явно. Например, так. Пусть $S_n$ -- частичные суммы ряда и $s_n$ -- их дробные часть (т.е, собственно, элементы исходной последовательности). Для каждого $k$ возьмём такое $n_k$, что $S_{n_k}$ -- ближайшая к $k+x$ частичная сумма. Точнее так: ближайшая слева, если $x\geqslant\frac12$, и ближайшая справа, если $x<\frac12$. Тогда последовательность номеров $n_k$ строго монотонно возрастает, и при этом $|x-s_{n_k}|\leqslant\frac1{n_k}$. Следовательно, $\lim\limits_{k\to\infty}s_{n_k}=x$, что и требовалось.