Радиус сходимости

[Mandel]

Есть ряд

$$ \sum_{k=0}^\infty e^{3k+1} $$

какой у него радиус сходимости (если по Даламберу считать)?

[AD]

Какой ещё радиус? Это ведь числовой ряд!

[Бодигрим]

И в дополнение к AD, хозяйке на заметку: радиус сходимости не зависит от того, каким способом вы его находите, да?

[Mandel]

Ой.

$$ \sum_{k=0}^\infty e \cdot x^{3k+1} $$

[Бодигрим]

Тогда

$$ \sum_{k=0}^\infty e \cdot x^{3k+1} = ex \sum_{k=0}^\infty (x^3)^k $$

, а радиус сходимости ряда $\sum_{k=0}^\infty y^k$ - классический факт.

[ewert]

явно истчо ($\copyright$ Екатерина II) очепятка: при чём тут "е"?

ну а коли буквально так -- то единичка, разумеется, достаточно сделать замену $x^3=t$. Ну или можно ещё повозиться с формулой Коши для радиуса (вместо Даламбера), но это уже извращение.

[Mandel]

Я все какие-то неудачные примеры привел. вот для такого ряда?

$$ \sum_{k=0}^\infty \frac{k!}{(2k+2)!!} (2z-i)^{3k+2} $$

[Бодигрим]

Удобно сделать замену $w=(2z-i)^3$ и найти радиус сходимости для ряда

$$\sum {k!\over(2k+2)!!} w^k $$

. Это вы проделать можете? А потом вернуться к $z$, пересчитывая радиус и центр круга сходимости.

[Mandel]

Да.Это могу. Радиус равен 2.
тогда $|2z-i| < \sqrt[3]{2}$ ???

[Бодигрим]

Да, по всей видимости.

[Mandel]

Спасибо.