Помогите решить интеграл

[Banks]

Здравствуйте, помогите решить интеграл:

$$\int_{0}^{\infty}\frac {\cos{(3x/4)}}{4+x^2}dx$$

Заранее благодарен...

[Brukvalub]

Вообще-то, это - интеграл Лапласа, который традиционно берут или повторным интегрированием, или методами теории вычетов.

[Banks]

А как это повторным интегрированием?

[Brukvalub]

Известно, что $\frac{1}{{1 + x^2 }} = \int\limits_0^{ + \infty } {e^{ - p(1 + x^2 )} dp \Rightarrow } \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\cos (ax)}}{{1 + x^2 }}dx = } \int\limits_0^{ + \infty } {dx\int\limits_0^{ + \infty } {\cos (ax)} e^{ - p(1 + x^2 )} dp} $Далее нужно изменить порядок интегрирования, но перед этим обосновать законность такого изменения, и все проинтегрируется.

[Banks]

BrukvalubСпасибо

Добавлено спустя 25 секунд:

BrukvalubСпасибо

[lihonosov]

Пример:
Ожидаемый дефицит -

$$\int\limits_I^\infty (x-I)f(x)dx \leqslant A_1$$

Ожидаемые излишки -

$$\int\limits_0^{I} (I-x)f(x)dx \leqslant A_2$$

Функция имеет вид:

$f(x)=\left\{ \begin{array}{1}\frac {20} {x^2} $ если $10\leqslant x \leqslant 20,\\ 0,$ в противном случае.$ \end{array} \right$

Получаю два интеграла:

$$\int\limits_I^{20} (x-I)f(x)dx=\int\limits_I^{20} (x-I) \frac {20} {x^2} dx = {20} \left \{ ln \frac {20} I + \frac I {20} -1 \right \}$$

(1)

$$\int\limits_{10}^{I} (I-x)f(x)dx=\int\limits_{10}^{I} (I-x) \frac {20} {x^2} dx = {20} \left \{ ln \frac {10} I + \frac I {10} -1 \right \}$$

(2)

отсюда получаем:

$ln I - I/20 \geqslant ln 20 - A_1/20-1 = 1.996 - A_1/20$ (3)
$ln I - I/10 \geqslant ln 10 - A_2/20-1 = 1.302 - A_2/20$ (4)

подставляю нужные A_1 и А_2и решаю дальше

С интегралами у меня плохо, поэтому подскажите как из (1) получается (3).

Мои данные:
$f(x)=\left\{ \begin{array}{1}\frac {1} {2x} $ если $10\leqslant x \leqslant 18,\\ 0,$ в противном случае.$ \end{array} \right$

Получаю два интеграла:

$$\int\limits_I^{18} (x-I)f(x)dx=\int\limits_I^{18} (x-I) \frac {1} {2x} dx = ????????????? $$

$$\int\limits_{10}^{I} (I-x)f(x)dx=\int\limits_{10}^{I} (I-x) \frac {1} {2x} dx = ??????????????? $$

Подскажите

[Бодигрим]

Чтобы посчитать ваши интегралы, удобно расписать ${I-x\over 2x}$ как $(I/2)x^{-1}-1/2$. Каждое слагаемое интегрируете отдельно - вам нужны только формулы интегрирования степеней. Вы их легко найдете, если только захотите.

lihonosov в сообщении #149522 писал(а):

С интегралами у меня плохо, поэтому подскажите как из (1) получается (3).

Так вам не ясно, как получена правая часть (1), где происходит интегрирование, или таки как из (1) получается (3). Если первое - то тут точно тот же прием, что я описал выше.

Подставим выражение для интеграла (1) в неравенство ожидаемого дефицита. Получим

$${20} \left \{ \ln \frac {20} I + \frac I {20} -1 \right \} \le A_1$$

$$ \ln \frac {20} I + \frac I {20} -1 \le A_1/20$$

$$ \ln{20} -\ln I + I/20 -1 \le A_1/20$$

$$ \ln{20} -\ln I + I/20 -1 -A_1/20 \le 0$$

$$ \ln{20} -1 -A_1/20 \le \ln I - I/20$$

[lihonosov]

А можно все-таки расписать промежуточное решение:

$$\int\limits_I^{20} (x-I)f(x)dx=\int\limits_I^{20} (x-I) \frac {20} {x^2} dx = {20} \left \{ ln \frac {20} I + \frac I {20} -1 \right \}$$

Хочу понять как из левой части получается правая.

[Бодигрим]

Вы можете записать соответствующий неопределенный интеграл?

[lihonosov]

Бодигрим в сообщении #149950 писал(а):

Вы можете записать соответствующий неопределенный интеграл?

Мне стыдно, но с этим и проблема.
Потом нужно просто будет подставить сначала 20 вместо x минус I вместо x.

[Бодигрим]

Так. Найдите в таблице первообразных и приведите здесь, чему равен интеграл $\int x^k\,dx$, потом обсудим, что делать дальше.

[vvvv]

Вот ответ.

[Бодигрим]

Если уж и приводить ответ, то ведь не в таком виде? Как-то грустно оставлять $\cosh x - \sinh x$ непреобразованным.

[ewert]

и, кстати, к чему буржуйские замашки? правильно: $\ch x-\sh x$.

[lihonosov]

Бодигрим в сообщении #149968 писал(а):

Так. Найдите в таблице первообразных и приведите здесь, чему равен интеграл , потом обсудим, что делать дальше.

$$\int x^a dx = \frac {x^{a+1}} {a+1} +C$$