Запутанные частицы

[irygaev]

mihaild в сообщении #1498129 писал(а):

По обычному математическому определению если результат измерения первой частицы всегда одинаковый, то он не коррелирует ни с чем (даже сам с собой).

Действительно. Но тут результат не всегда одинаковый. Результат измерения одной частицы может быть либо спин вверх (+1), либо спин вниз (-1). Но всякий раз, когда у первой частицы +1, у второй - -1, и наоборот. Соответственно, коэффициент корреляции будет равен -1.

[mihaild]

irygaev в сообщении #1498132 писал(а):

Но тут результат не всегда одинаковый

Я про состояние $|\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle$. В нём по математическому определению корреляции нет, а по физическому, если я правильно понял, есть.

[madschumacher]

irygaev в сообщении #1498123 писал(а):

У вас по-другому?

Нет, у меня так же. Просто для запутанных частиц я неправильный тип измерений взял, каюсь: нужно частицы измерять в ортогональных направлениях, а не в одном и том же, тогда корреляции не возникнет.

irygaev в сообщении #1498123 писал(а):

Так у меня и написано "за исключением одного конкретного базиса".

А, ок.

[irygaev]

madschumacher в сообщении #1498172 писал(а):

нужно частицы измерять в ортогональных направлениях, а не в одном и том же, тогда корреляции не возникнет.

Ну это понятно.

И вот за это спасибо:

madschumacher в сообщении #1498172 писал(а):

в обоих случаях схлопывание коллапс происходит одинаково. Изначально у Вас всегда имеется двухчастичная волновая функция $|\psi\rangle$. Когда Вы измеряете первую частицу и получаете в результате измерения частицу в одночастичном состоянии $|\psi_1\rangle$, у Вас всё ещё остаётся одночастичная волновая функция второй частицы $|\psi_2 \rangle = \langle \psi_1 | \psi \rangle$, проекция двухчастичного состояния для заданного одночастичного. И это работает в обе стороны.

Не то чтобы я это детально прочувствовал, но вроде идея ясна. Вижу, что моя метафора и правда не в тему.

[madschumacher]

irygaev в сообщении #1498177 писал(а):

Ну это понятно.

Ну так у Вас в фрагменте

irygaev в сообщении #1498082 писал(а):

1. Если волновая функция системы двух частиц не факторизуется (не может быть представлена в виде произведения волновых функций отдельных частиц), то частицы будут "по-настоящему" запутанными, и их измерения по любому (но общему для двух частиц) базису всегда дают коррелированные результаты.

этого нет. Если Вы под "общему для двух частиц базису" имеете в виду общее направление, то это вновь не так, ибо (если очень надо) можно создать запутанное состояние
$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow_1\rangle|\leftarrow_2\rangle + |\downarrow_1\rangle|\rightarrow_2\rangle) = \frac{1}{2} (|\uparrow_1\rangle |\uparrow_2\rangle + |\uparrow_1\rangle |\downarrow_2\rangle - |\downarrow_1\rangle |\uparrow_2\rangle + |\downarrow_1\rangle |\downarrow_2\rangle)$.
В этом случае коррелятор $\langle \psi |\hat{s}_1^{\updownarrow} \hat{s}_2^{\leftrightarrow} |\psi\rangle = \frac{1}{2}(+\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}$, но $\langle \psi |\hat{s}_1^{\updownarrow} \hat{s}_2^{\updownarrow} |\psi\rangle = \frac{1}{2}(+\frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} +\frac{1}{4}) = 0$.

irygaev в сообщении #1498177 писал(а):

Не то чтобы я это детально прочувствовал, но вроде идея ясна.

Глава 5.3 "Измерение" из "Как понимать квантовую механику" М.Г. Иванова Вам в помощь.

[irygaev]

madschumacher в сообщении #1498192 писал(а):

Если Вы под "общему для двух частиц базису" имеете в виду общее направление, то это вновь не так, ибо (если очень надо) можно создать запутанное состояние
$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow_1\rangle|\leftarrow_2\rangle + |\downarrow_1\rangle|\rightarrow_2\rangle) = \frac{1}{2} (|\uparrow_1\rangle |\uparrow_2\rangle + |\uparrow_1\rangle |\downarrow_2\rangle - |\downarrow_1\rangle |\uparrow_2\rangle + |\downarrow_1 \rangle |\downarrow_2\rangle )$.
В этом случае коррелятор $\langle \psi |\hat{s}_1^{\updownarrow} \hat{s}_2^{\leftrightarrow} |\psi\rangle = \frac{1}{2}(+\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}$, но $\langle \psi |\hat{s}_1^{\updownarrow} \hat{s}_2^{\updownarrow} |\psi\rangle = \frac{1}{2}(+\frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} +\frac{1}{4}) = 0$.

Согласен, спасибо за уточнение.

[chislo_avogadro]

madschumacher в сообщении #1498110 писал(а):

irygaev в сообщении #1498082 писал(а):

Если волновая функция системы двух частиц не факторизуется (не может быть представлена в виде произведения волновых функций отдельных частиц), то частицы будут "по-настоящему" запутанными, и их измерения по любому (но общему для двух частиц) базису всегда дают коррелированные результаты.

Нет, это не так,

Ну как же "не так". ТС здесь прав, цитирую - "их измерения по любому (но общему для двух частиц) базису всегда дают коррелированные результаты".

madschumacher в сообщении #1498110 писал(а):

и пример я уже выше давал (в сообщении #1498075). Ещё раз его опишу более подробно и в более простом случае, с которого и началась тема: вот Вы создали коррелированное, но не запутанное состояние двух электронов с заданным спиновым состоянием пары, например $|\psi\rangle = |\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle$. В результате измерения Ваш коррелятор для оси $\updownarrow$ имеет вид:
$ \langle \psi | \hat{s}_1^{\updownarrow} \hat{s}_2^{\updownarrow} | \psi \rangle = -\frac{1}{4} $
(т.е. если на одном приборе намерили спин вверх, на другом измерение даст спин вниз).
А теперь берём, и измеряем спины этих электронов в перпендикулярном направлении ($\leftrightarrow$). При разложении старых одночастичных состояний по собственным векторам в направлении измерения мы получим $|\uparrow\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\leftarrow\rangle + |\rightarrow \rangle)$, а $|\downarrow\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\leftarrow\rangle - |\rightarrow \rangle)$ (или что-то типа того).

$| \psi \rangle = \frac{1}{2} (|\leftarrow_1\rangle|\leftarrow_2\rangle + |\rightarrow_1 \rangle |\leftarrow_2\rangle - |\leftarrow_1\rangle |\rightarrow_2\rangle - |\rightarrow_1 \rangle |\rightarrow_2\rangle)$
и следовательно коррелятор в другом направлении даст
$ \langle \psi | \hat{s}_1^{\leftrightarrow} \hat{s}_2^{\leftrightarrow} | \psi \rangle = \frac{1}{4} \left( +\frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} +\frac{1}{4} \right) = 0 $
(т.е. если на одном приборе получился спин влево, то на втором может быть, как спин вправо, так и влево, причём с одинаковой вероятностью, а значит корреляции между измерениями спинов двух частиц нет).

Для состояния $|\psi\rangle = |\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle$ это справедливо.

madschumacher в сообщении #1498110 писал(а):

Для запутанного состояния, например $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle - |\uparrow_2\rangle|\downarrow_1\rangle)$ будет всё то же самое, проверьте это сами, чтобы убедиться.

Как вы думаете, что даст эта проверка? Действительно "всё будет то же самое"?
То есть, если в записанном вами запутанном состоянии, $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle - |\uparrow_2\rangle|\downarrow_1\rangle)$, измерять (обе частицы) по $x$, то корреляция вдруг исчезнет?
Корреляция будет только, если измерять вдоль $z$?
Но в запутанном состоянии (в отличие от первого случая) состояния отдельных частиц не определены.
В таком случае измерение в ортогональном базисе следует понимать как измерение в базисе, ортогональном неопределённому. Тут уже требуется очень мощное воображение.

-- 29.12.2020, 22:20 --

mihaild в сообщении #1498133 писал(а):

Я про состояние $|\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle$. В нём по математическому определению корреляции нет, а по физическому, если я правильно понял, есть.

Это интересный момент. Если попробовать common sense, то дело можно представить так - с конвейера сходят, к примеру, пары гвоздей, причём первый в паре шляпкой вверх, второй - вниз. Гвозди из пар без вращений рассылаются наблюдателям, одному всегда первый, другому - второй. "Волновая функция" гвоздей, как я вижу, идентична записанной. И вроде совершенно очевидно, что наблюдатели корреляцию обнаружат.
Просто любопытно, как математика может эту корреляцию дезавуировать?

[irygaev]

chislo_avogadro в сообщении #1498288 писал(а):

Просто любопытно, как математика может эту корреляцию дезавуировать?

Я согласен, что с точки зрения здравого смысла тут не всё разумно. Но и математику можно понять. Если у вас $y$ всегда принимает одно и то же значение, нет оснований полагать, что он зависит от $x$, даже если $x$ тоже всегда принимает одно и то же значение. По одной точке зависимость не установить.

[mihaild]

(Оффтоп)

chislo_avogadro в сообщении #1498288 писал(а):

И вроде совершенно очевидно, что наблюдатели корреляцию обнаружат

Нет, не обнаружат (если будут считать по математическому определению).
Неформально, корреляция - это насколько приближение нашей величины линейной функцией от другой точнее чем приближение константой. Если приближение нашей величины константой уже идеально точное, то знание значения другой нам ничем не поможет.

[madschumacher]

chislo_avogadro в сообщении #1498288 писал(а):

Ну как же "не так". ТС здесь прав, цитирую - "их измерения по любому (но общему для двух частиц) базису всегда дают коррелированные результаты".

Сформулируйте это утверждение точно. Своё возражение я уже высказал, скажем в сообщении #1498192.

chislo_avogadro в сообщении #1498288 писал(а):

То есть, если в записанном вами запутанном состоянии, $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle - |\uparrow_2\rangle|\downarrow_1\rangle)$, измерять (обе частицы) по $x$, то корреляция вдруг исчезнет?

Это уже было сказано в сообщении #1498172. Например, для состояния $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle - |\uparrow_2\rangle|\downarrow_1\rangle)$ коррелятор $\langle \psi | \hat{s}_1^{\updownarrow} \hat{s}_1^{\leftrightarrow} | \psi \rangle = 0$. Т.е. если измерять одну частицу по $x$, а другую по $z$, то да, корреляция исчезает.

chislo_avogadro в сообщении #1498288 писал(а):

Просто любопытно, как математика может эту корреляцию дезавуировать?

Тем, что коэффициент корреляции Пирсона (по определению) -- это $\rho_{xy} = \frac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sqrt{\operatorname{var}(x) \cdot \operatorname{var}(y)}} \propto \langle xy\rangle - \langle x\rangle \langle y \rangle$. В некоторых областях физики последнее слагаемое, кстати, часто зовётся "false covariance" (ложная ковариация).

[chislo_avogadro]

madschumacher в сообщении #1498298 писал(а):

chislo_avogadro в сообщении #1498288 писал(а):

Ну как же "не так". ТС здесь прав, цитирую - "их измерения по любому (но общему для двух частиц) базису всегда дают коррелированные результаты".

Сформулируйте это утверждение точно. Своё возражение я уже высказал, скажем в сообщении #1498192.

Я комментировал другое Ваше сообщение, причём подробно его цитировал.
Речь была о post1498110.html#p1498110.

Изложу ещё раз. В этом сообщении Вы применяете корреляторы $\hat{s}_1^{\updownarrow} \hat{s}_2^{\updownarrow}$ и $\hat{s}_1^{\leftrightarrow} \hat{s}_2^{\leftrightarrow}$ к функции $|\psi\rangle = |\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle$ и приходите к выводу, что в первом случае корреляция есть, во втором - нулевая. Всё хорошо.

Но далее Вы там утверждаете -

madschumacher в сообщении #1498110 писал(а):

Для запутанного состояния, например $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle - |\uparrow_2\rangle|\downarrow_1\rangle)$ будет всё то же самое, проверьте это сами, чтобы убедиться.

Что и вызвало моё возражение.
Для этого состояния корреляция всегда стопроцентная, в каком бы базисе ни проводилось измерение. При условии, - подчёркиваю это ещё раз - что измерения обеих частиц проводятся в общем базисе. В общем направлении, если хотите.

А сейчас, в последнем сообщении, Вы почему-то заговорили о корреляторе $\hat{s}_1^{\updownarrow} \hat{s}_1^{\leftrightarrow}$, о котором у меня речи не было.

-- 01.01.2021, 22:00 --

irygaev в сообщении #1498294 писал(а):

Если у вас $y$ всегда принимает одно и то же значение, нет оснований полагать, что он зависит от $x$, даже если $x$ тоже всегда принимает одно и то же значение. По одной точке зависимость не установить.

mihaild в сообщении #1498297 писал(а):

Нет, не обнаружат (если будут считать по математическому определению).
Неформально, корреляция - это насколько приближение нашей величины линейной функцией от другой точнее чем приближение константой. Если приближение нашей величины константой уже идеально точное, то знание значения другой нам ничем не поможет.

Вопрос, однако, в том, какой в данном случае функцией должна оперировать математика, что на входе?
Физика оперирует корреляциями в измерениях. Допустим, оба прибора, измеряющие спины частиц, периодически разворачиваются "обратным концом".
Или приборы просто наклонить под малым углом к $z$ - результаты становятся случайными, хотя и преимущественно как при неповёрнутом приборе.
Тогда измерение уже не даст константы.

Кстати, что математическое определение говорит о состоянии $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle - |\uparrow_2\rangle|\downarrow_1\rangle)$ ?

[madschumacher]

chislo_avogadro в сообщении #1498591 писал(а):

При условии, - подчёркиваю это ещё раз - что измерения обеих частиц проводятся в общем базисе.

Для начала чётко определите, что такое "измерение в общем базисе", т.к. термина такого тупо нет.
Допустим, что в данном случае под "общим базисом" Вы подразумеваете, скажем, одинаковую ориентацию магнитов в опыте Штерна-Герлаха. В этом случае действительно, для состояния

chislo_avogadro в сообщении #1498591 писал(а):

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle - |\uparrow_2\rangle|\downarrow_1\rangle)$

какое бы общее направление измеряемой оси мы не выбирали, мы будем получать коррелированные измерения. Эту ошибку я признал уже давно:

madschumacher в сообщении #1498172 писал(а):

Нет, у меня так же.

Но это "измерение запутанных частиц в одном направлении" будет давать коррелированные измерения не для каждого из возможных запутанных состояний. Простейший контрпример такого дан тут:

madschumacher в сообщении #1498192 писал(а):

Если Вы под "общему для двух частиц базису" имеете в виду общее направление, то это вновь не так, ибо (если очень надо) можно создать запутанное состояние
$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow_1\rangle|\leftarrow_2\rangle + |\downarrow_1\rangle|\rightarrow_2\rangle) = \ldots $.
В этом случае коррелятор $\langle \psi |\hat{s}_1^{\updownarrow} \hat{s}_2^{\leftrightarrow} |\psi\rangle = \frac{1}{2}(+\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{1}{4}$, но $\langle \psi |\hat{s}_1^{\updownarrow} \hat{s}_2^{\updownarrow} |\psi\rangle = \frac{1}{2}(+\frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} +\frac{1}{4}) = 0$.

Собственно, это только случай двух частиц, в случае, если частиц больше, разнообразие возможных форм будет только увеличиваться, так что изначальное утверждение ТС о некоем общем базисе измерения (если опять же я его правильно протелепатировал) не является верным.

chislo_avogadro в сообщении #1498591 писал(а):

Или приборы просто наклонить под малым углом к $z$ - результаты становятся случайными, хотя и преимущественно как при неповёрнутом приборе.
Тогда измерение уже не даст константы.

В случае $|\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle$ при математическом определении ковариация всегда будет нулевой, а при физическая корреляция $ \langle s_1^{/} s_2^{/} \rangle$ будет меняться $\propto \cos^2(\theta)$, где $\theta$ угол поворота $/$ от изначального направления $\updownarrow$ (при этом средние значения для спинов отдельных частиц $\langle s_i^{/} \rangle \ (i=1,2)$ будут меняться $\propto \cos(\theta)$).

chislo_avogadro в сообщении #1498591 писал(а):

Кстати, что математическое определение говорит о состоянии $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle - |\uparrow_2\rangle|\downarrow_1\rangle)$ ?

Тут то как раз всё хорошо и чисто, физическая и математическая корреляции совпадают, из-за того что средние значения спинов отдельных частиц равны 0.

[irygaev]

А можно ли измерить две частицы в "запутанном базисе Адамара"?
$|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle + |\downarrow_1\rangle|\uparrow_2\rangle$
$|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle - |\downarrow_1\rangle|\uparrow_2\rangle$
И соответственно однозначно установить, в каком из этих двух состояний находится система.

Я понимаю, что теоретически это возможно. А практически как это можно реализовать? На любом примере - спин, поляризация, что-нибудь ещё. Были такие эксперименты?

[irygaev]

irygaev в сообщении #1500710 писал(а):

А можно ли измерить две частицы в "запутанном базисе Адамара"?

Нашёл, что это называется на самом деле базис Белла и измерение можно провести, сначала распутав кубиты через гейт CNOT и гейт Адамара.

Осталось понять, как физически реализуется CNOT. Ну и можно ли измерить напрямую, без распутывания?

[irygaev]

irygaev в сообщении #1500710 писал(а):

А можно ли измерить две частицы в "запутанном базисе Адамара"?
$|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle + |\downarrow_1\rangle|\uparrow_2\rangle$
$|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle - |\downarrow_1\rangle|\uparrow_2\rangle$
И соответственно однозначно установить, в каком из этих двух состояний находится система

Прошу прощения, у меня снова вопрос. Получается измерение в этом базисе оставляет частицы запутанными (в случае, если состояние системы уже было $|+\rangle$ или $|-\rangle$). Так? Более того, это измерение запутает частицы, если они не были запутаны до этого. Правильно я понимаю?

До сих пор было ощущение, что при измерении частицы всегда распутываются.

Или всё же такое измерение нельзя произвести?