2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Запутанные частицы
Сообщение28.12.2020, 00:02 


29/11/13
83
Добрый день!

Можно ли запутать две частицы в заранее определённом состоянии? Например, запутать два электрона так, чтобы спин одного был строго вверх, а другого соответственно - строго вниз (по заранее заданному направлению).

Или же состояние запутанности обязательно подразумевает неопределённость состояния частиц?

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутанные частицы
Сообщение28.12.2020, 00:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2287
Внутри ускорителя
irygaev в сообщении #1498059 писал(а):
Можно ли запутать две частицы в заранее определённом состоянии? Например, запутать два электрона так, чтобы спин одного был строго вверх, а другого соответственно - строго вниз (по заранее заданному направлению).

Создать такое состояние много ума не надо: делаете два независимых электрона с нужными спинами, и вуаля.
Только это ($|\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle$) состояние, в котором у первого электрона состояние строго вверх ($|\uparrow_1\rangle$), а у второго -- строго вниз ($|\downarrow_2\rangle$), по определению не является запутанным, т.к. факторизуется на состояния отдельных электронов.
irygaev в сообщении #1498059 писал(а):
Или же состояние запутанности обязательно подразумевает неопределённость состояния частиц?

Грубо говоря, да. Вам нужно нефакторизуемое состояние в выбранном Вами базисе. Или если говорить в терминах матрицы плотности, нужно состояние, которое имеет ненулевые недиагональные элементы в выбранном базисе. Собственно, термин "запутанность" -- весьма искусственная конструкция, т.к. её наличие зависит от используемого базиса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутанные частицы
Сообщение28.12.2020, 01:39 


29/11/13
83
Спасибо за ответ.
madschumacher в сообщении #1498061 писал(а):
Собственно, термин "запутанность" -- весьма искусственная конструкция, т.к. её наличие зависит от используемого базиса.

Но с ней вроде как связан физический феномен "дальнодействия". Когда я измеряю одну из запутанных частиц, волновая функция схлопывается для обеих, а в незапутанном состоянии - только для одной. Так ведь? Весьма странно, что это зависит от базиса, который есть произвол исследователя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутанные частицы
Сообщение28.12.2020, 01:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2287
Внутри ускорителя
irygaev в сообщении #1498073 писал(а):
Но с ней вроде как связан физический феномен "дальнодействия".

Да, связан. В сам термин, конечно, обычно вкладывают больше, чем он того заслуживает, имхо.
irygaev в сообщении #1498073 писал(а):
Когда я измеряю одну из запутанных частиц, волновая функция схлопывается для обеих, а в незапутанном состоянии - только для одной.

Не совсем так: волновая функция схлопывается одинаково в обоих случаях. Просто в случае запутанных состояний схлопывание в правильно выбранном базисе приводит к ненулевым корреляциям между измерениями разных частиц.
irygaev в сообщении #1498073 писал(а):
Весьма странно, что это зависит от базиса, который есть произвол исследователя.

Нет, в этом ничего необычного нет. В экспериментальном смысле "запутанность" -- очень удобное понятие, т.к. наши измерения всегда имеют некоторый известный базис (например, направление поляризаторов). Например, если у нас частицы поляризованы и запутаны в одном направлении (вертикальном), а мы измеряем их в неправильном базисе (скажем, горизонтальном), то мы и не увидим никакой запутанности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутанные частицы
Сообщение28.12.2020, 01:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
6131
madschumacher в сообщении #1498061 писал(а):
"запутанность" -- весьма искусственная конструкция, т.к. её наличие зависит от используемого базиса
Не зависит. Если состояние факторизуется, то как ты базисы двух подсистем ни крути — оно так и будет факторизовываться. Поэтому если не факторизуется — значит не факторизуется. Если, конечно, начать крутить общий базис как угодно, смешивая базисы подсиситем, то будет чёрти что, но так делать нельзя, потому что раз уж вы ввели в рассмотрение подсистемы, факторизовали гильбертово пространство, то и базисы надо использовать соотвествующие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутанные частицы
Сообщение28.12.2020, 01:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2287
Внутри ускорителя
warlock66613 в сообщении #1498076 писал(а):
Если состояние факторизуется, то как ты базисы двух подсистем ни крути — оно так и будет факторизовываться.

Подсистем -- да, не будет. Системы целиком -- нет, мы всегда можем диагонализовать матрицу плотности. Ну будут у нас двух-/трех-/.../многочастичные состояния, ну и что.

warlock66613 в сообщении #1498076 писал(а):
но так делать нельзя, потому что раз уж вы ввели в рассмотрение подсистемы, факторизовали гильбертово пространство, то и базисы надо использовать соотвествующие.

А что это мне запрещает? В эксперименте понятно -- вот у меня два детектора, они и дают базис, а в теории то какая разница?

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутанные частицы
Сообщение28.12.2020, 01:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
6131
В общем, запутанность вообще, разделение состояний на "запутанные" и "незапутанные" — оно не только от базиса зависит, но и вообще малоосмыслено. А запутанность двух конкретных подсистем между собой (например, двух электронов в двухэлектронной системе) — это свойство состояния, не представления состояния в каком-то базисе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутанные частицы
Сообщение28.12.2020, 02:44 


29/11/13
83
Итак, если я правильно понял:

1. Если волновая функция системы двух частиц не факторизуется (не может быть представлена в виде произведения волновых функций отдельных частиц), то частицы будут "по-настоящему" запутанными, и их измерения по любому (но общему для двух частиц) базису всегда дают коррелированные результаты.

2. Если же волновая функция системы факторизуется на волновые функции отдельных частиц, то частицы фактически не запутаны, и их измерения по произвольному базису будут давать в общем случае некоррелированные результаты, за исключением возможно одного конкретного базиса, по которому обе частицы имеют единственное состояние с вероятностью 1.

Тут математически всё ясно, но философски немного странно. Ведь в обоих случаях можно говорить об общей волновой функции системы, но в одном случае она схлопывается целиком, а во-втором - только частично. Получается, что природа как бы пытается минимизировать схлопывание по максимуму. Это подходящая метафора, нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутанные частицы
Сообщение28.12.2020, 05:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
6131
irygaev в сообщении #1498082 писал(а):
природа как бы пытается минимизировать схлопывание по максимуму
Да ну при чём здесь природа? Как мы волновую функцию померяем — так она и схлопнется. Просто когда фолновая функция факторизуется, то появляется возможность произвести измерение так, чтобы все множители, кроме одного, не изменились.

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутанные частицы
Сообщение28.12.2020, 13:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2287
Внутри ускорителя
irygaev в сообщении #1498082 писал(а):
Если волновая функция системы двух частиц не факторизуется (не может быть представлена в виде произведения волновых функций отдельных частиц), то частицы будут "по-настоящему" запутанными, и их измерения по любому (но общему для двух частиц) базису всегда дают коррелированные результаты.

Нет, это не так, и пример я уже выше давал (в сообщении #1498075). Ещё раз его опишу более подробно и в более простом случае, с которого и началась тема: вот Вы создали коррелированное, но не запутанное состояние двух электронов с заданным спиновым состоянием пары, например $|\psi\rangle = |\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle$. В результате измерения Ваш коррелятор для оси $\updownarrow$ имеет вид:

(вспомогательные соотношения)

$\hat{s}^{\updownarrow}|\uparrow\rangle = +1/2|\uparrow\rangle$, $\hat{s}^{\updownarrow}|\downarrow\rangle = -1/2|\downarrow\rangle$, $\langle \uparrow | \uparrow \ranlge = \langle \downarrow| \downarrow \rangle =1$ и $\langle \uparrow | \downarrow \rangle =0$

$
\langle \psi | \hat{s}_1^{\updownarrow} \hat{s}_2^{\updownarrow} | \psi \rangle = 
-\frac{1}{4} 
$
(т.е. если на одном приборе намерили спин вверх, на другом измерение даст спин вниз).
А теперь берём, и измеряем спины этих электронов в перпендикулярном направлении ($\leftrightarrow$). При разложении старых одночастичных состояний по собственным векторам в направлении измерения мы получим $|\uparrow\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\leftarrow\rangle + |\rightarrow \rangle)$, а $|\downarrow\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\leftarrow\rangle - |\rightarrow \rangle)$ (или что-то типа того).

(вспомогательные соотношения #2)

Они всё те же $\hat{s}^{\leftrightarrow}|\leftarrow\rangle = +1/2|\leftarrow\rangle$, $\hat{s}^{\leftrightarrow}|\rightarrow\rangle = -1/2|\rightarrow\rangle$, $\langle \leftarrow | \leftarrow \rangle = \langle \rightarrow| \rightarrow \rangle =1$ и $\langle \leftarrow | \rightarrow \rangle =0$

$| \psi \rangle = \frac{1}{2} (|\leftarrow_1\rangle|\leftarrow_2\rangle + |\rightarrow_1 \rangle |\leftarrow_2\rangle -  |\leftarrow_1\rangle |\rightarrow_2\rangle - |\rightarrow_1 \rangle |\rightarrow_2\rangle)$
и следовательно коррелятор в другом направлении даст
$
\langle \psi | \hat{s}_1^{\leftrightarrow} \hat{s}_2^{\leftrightarrow} | \psi \rangle = \frac{1}{4} \left( +\frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} +\frac{1}{4}  \right) = 0
$
(т.е. если на одном приборе получился спин влево, то на втором может быть, как спин вправо, так и влево, причём с одинаковой вероятностью, а значит корреляции между измерениями спинов двух частиц нет).

Для запутанного состояния, например $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle - |\uparrow_2\rangle|\downarrow_1\rangle)$ будет всё то же самое, проверьте это сами, чтобы убедиться.

irygaev в сообщении #1498082 писал(а):
Если же волновая функция системы факторизуется на волновые функции отдельных частиц, то частицы фактически не запутаны, и их измерения по произвольному базису будут давать в общем случае некоррелированные результаты, за исключением возможно одного конкретного базиса, по которому обе частицы имеют единственное состояние с вероятностью 1.

Опять не верно, см. предыдущий пункт: у нас было изначально не запутанное состояние, но результаты измерений в нужном базисе были скореллированные.

irygaev в сообщении #1498082 писал(а):
Ведь в обоих случаях можно говорить об общей волновой функции системы, но в одном случае она схлопывается целиком, а во-втором - только частично.

Это опять же неверно: в обоих случаях схлопывание коллапс происходит одинаково. Изначально у Вас всегда имеется двухчастичная волновая функция $|\psi\rangle$. Когда Вы измеряете первую частицу и получаете в результате измерения частицу в одночастичном состоянии $|\psi_1\rangle$, у Вас всё ещё остаётся одночастичная волновая функция второй частицы $|\psi_2 \rangle = \langle \psi_1 | \psi \rangle$, проекция двухчастичного состояния для заданного одночастичного. И это работает в обе стороны.

irygaev в сообщении #1498082 писал(а):
Это подходящая метафора, нет?

Вообще не в кассу. :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутанные частицы
Сообщение28.12.2020, 13:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
4721
Москва
madschumacher, а я правильно понимаю, что физики тут используют своё понятие "скоррелированности", отличное от математического? (по терверовскому определению константная функция ни с чем не коррелирует)

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутанные частицы
Сообщение28.12.2020, 13:44 


29/11/13
83
mihaild в сообщении #1498113 писал(а):
madschumacher, а я правильно понимаю, что физики тут используют своё понятие "скоррелированности", отличное от математического? (по терверовскому определению константная функция ни с чем не коррелирует)

Нет. Обычное математическое. Имеется в виду корреляция результатов многократных измерений одинаково запутанных частиц.

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутанные частицы
Сообщение28.12.2020, 13:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2287
Внутри ускорителя
mihaild в сообщении #1498113 писал(а):
а я правильно понимаю, что физики тут используют своё понятие "скоррелированности", отличное от математического? (по терверовскому определению константная функция ни с чем не коррелирует)

и да, и нет. я встречал, что в качестве меры корреляции используют именно $\langle x y \rangle$, без поправки на $\langle x \rangle \langle y \rangle$. Обычно разницы нет, поскольку в запутанных состояниях подразумевают $\langle x \rangle = \langle y \rangle = 0$, но, как в примере выше, разница возникнет, т.к. если в первом случае сделать поправку на среднее значение, то корреляции не будет никакой.
А так достаточно часто используют выражение
$\frac{N_{++} - N_{-+} - N_{--} + N_{--}}{N_{++} + N_{-+} + N_{--} + N_{--}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутанные частицы
Сообщение28.12.2020, 14:15 


29/11/13
83
madschumacher в сообщении #1498110 писал(а):
Для запутанного состояния, например $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow_1\rangle|\downarrow_2\rangle - |\uparrow_2\rangle|\downarrow_1\rangle)$ будет всё то же самое, проверьте это сами, чтобы убедиться.

Вроде бы получается $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\rightarrow_1\rangle|\leftarrow_2\rangle - |\leftarrow_1\rangle|\rightarrow_2\rangle)$, чего и следовало ожидать. У вас по-другому?

madschumacher в сообщении #1498110 писал(а):
irygaev в сообщении #1498082 писал(а):
Если же волновая функция системы факторизуется на волновые функции отдельных частиц, то частицы фактически не запутаны, и их измерения по произвольному базису будут давать в общем случае некоррелированные результаты, за исключением возможно одного конкретного базиса, по которому обе частицы имеют единственное состояние с вероятностью 1.

Опять не верно, см. предыдущий пункт: у нас было изначально не запутанное состояние, но результаты измерений в нужном базисе были скореллированные.

Так у меня и написано "за исключением одного конкретного базиса".

 Профиль  
                  
 
 Re: Запутанные частицы
Сообщение28.12.2020, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
4721
Москва

(Оффтоп)

irygaev в сообщении #1498117 писал(а):
Нет. Обычное математическое. Имеется в виду корреляция результатов многократных измерений одинаково запутанных частиц.
По обычному математическому определению если результат измерения первой частицы всегда одинаковый, то он не коррелирует ни с чем (даже сам с собой).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, Aer, whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group