Помогите разобраться : МВМ

[ewert]

pc20b писал(а):

ewert в сообщении #149687 писал(а):

К какому классу принадлежит $B$? Оно не может содержать себя как свой элемент, т.к. тогда входило бы в $A$. Но в таком случае оно содержится в $B$.

Извините, но мне кажется, здесь неточно : логический функтор "но в таком случае ..." может иметь и другие исходы. В данном рассуждении множество $B$, "не содержащееся в себе самом" по условию, содержится в $X$, и этого достаточно. Поэтому, очевидно, вывод "оно содержится в $B$" из данного рассуждения не следует.

Скорее всего, это, наверно, ошибка.

"Ошибка" здесь только в том, что не различаются понятия "$\in$" и "$\subset$". Точнее, в том, что допускается сама возможность вхождения множества в себя как элемента. Если её допустить, то остальная логика вполне нормальна.

А не допустить этого никак нельзя, т.к. иначе само словосочетание "множество всех множеств" становится бессмысленным.

(это я Вам как абсолютный дилетант в теории множеств говорю)

[pc20b]

pc20b в сообщении #149724 писал(а):

Но если ошибки в логике, приведшие к такому выводу?

Чтобы не быть голословным, можно привести пример. Возьмем исходное предложение :

Множество всех множеств.

Обратите внимание на слово "всех". Значит, в МВМ по определению включено и множество всех его подмножеств, МВП, являющихся множествами, не так ли. Следовательно, в подсчете мощности МВМ (если сказать аккуратнее, в задании процедуры этого действия), уже должна быть учтена мощность (точнее, процедура определения её) МВП. В таком случае, как же, в результате каких-то логических рассуждений, вдруг оказывается, что мощность МВМ "очучивается" меньше мощности МВП?

Добавлено спустя 6 минут 53 секунды:

ewert в сообщении #149733 писал(а):

Точнее, в том, что допускается сама возможность вхождения множества в себя как элемента. Если её допустить, то остальная логика вполне нормальна.

А не допустить этого никак нельзя, т.к. иначе само словосочетание "множество всех множеств" становится бессмысленным.

(это я Вам как абсолютный дилетант в теории множеств говорю)

Просьба пояснить, почему "допустить этого никак нельзя"? Вы не мыслите себе множества, являющиеся элементом себя? Я так понял?

[ewert]

pc20b писал(а):

Вы не мыслите себе множества, являющиеся элементом себя? Я так понял?

Так. Но: почему только я?...

Да, уточняю формулировку. Если множество В включает себя как элемент, то оно является элементом А. То есть множества А и В пересекаются, что противоречит исходному построению. Следовательно, множество В не включает себя как элемент. Это означает, что оно принадлежит В, т.е. что множество В включает себя как элемент.

[AD]

pc20b в сообщении #149724 писал(а):

Поэтому я бы очень попросил прокомментировать возможность применения тривиального результата комбинаторики :

$2^N>N$

к сравнению двух кардиналов : мощности МВМ и мощности МВП.

Эта теорема доказывается не только для конечных множеств (и тем более не только для чисел), но и для произвольных множеств. Поскольку мы предположили, что есть такое множество - "МВМ", то мы можем вывести, как следствие, что для него верны все теоремы теории множеств, в частности, мощность множества его подмножеств будет строго больше мощности МВМ..

[pc20b]

ewert в сообщении #149745 писал(а):

Да, уточняю формулировку. Если множество В включает себя как элемент, то оно является элементом А. То есть множества А и Б пересекаются, что противоречит исходному построению. Следовательно, множество В не включает себя как элемент. Это означает, что оно принадлежит В, т.е. включает себя как элемент.

Извините, но возможная ошибка в логике этого рассуждения уже была отмечена и осталась непрокомментированной. Не означает, что оно, В, принадлежит В. Есть и другая, нормальная возможность : оно принадлежит Х. Более того, оно вообще-то ничему принадлежать вроде бы и нем обязано. Вы здесь упрямо стремитесь к желаемому результату, игнорируя логику.

[AD]

pc20b писал(а):

Следовательно, в подсчете мощности МВМ (если сказать аккуратнее, в задании процедуры этого действия), уже должна быть учтена мощность (точнее, процедура определения её) МВП. В таком случае, как же, в результате каких-то логических рассуждений, вдруг оказывается, что мощность МВМ "очучивается" меньше мощности МВП?

Ну так это и есть искомое противоречие.

Добавлено спустя 1 минуту 46 секунд:

pc20b в сообщении #149751 писал(а):

Не означает, что оно, В, принадлежит В. Есть и другая, нормальная возможность : оно принадлежит Х.

Всё, что принадлежит X, принадлежит либо A, либо B. Третьего не дано.
В обоих случаях мы приходим к противоречию.

[pc20b]

AD в сообщении #149749 писал(а):

Эта теорема доказывается не только для конечных множеств (и тем более не только для чисел), но и для произвольных множеств.

Нельзя ли это пояснить поподробнее. Я не понимаю, как для кардиналов можно такое показать.

AD в сообщении #149749 писал(а):

Поскольку мы предположили, что есть такое множество - "МВМ", то мы можем вывести, как следствие, что для него верны все теоремы теории множеств, в частности, мощность множества его подмножеств будет строго больше мощности МВМ..

Здесь возможны два уточнения : в первом случае следует уточнить, что МВМ является не обычным множеством (для которых доказаны все теоремы К(Н)ТМ). Его мощность, грубо говоря, - ультракардинал.

Я уже заметил, если Вы обратили внимание, один нюанс : т.к. МВМ включает по определению в себя и МВП, то при подсчете (точнее при задании процедуры) его мощности (аккуратном) надо учесть и процедуру определения мощности МВП, откуда неизбежно вытекает, что последняя, тоже будучи кардиналом, уж никак не может оказаться "большей" мощности МВМ. Никакого противоречия здесь вроде бы нет.

Добавлено спустя 4 минуты 18 секунд:

Во втором случае, наоборот, можно исходить их другой аксиоматики, и показать, что МВМ является единственным множеством, попадающим под изначально неопределяемую категорию множества.
Но это пока "запасной вариант".

[Xaositect]

pc20b в сообщении #149724 писал(а):

То, что в сообщении ewert'а возможна неточность, это очевидно. Поэтому я бы очень попросил прокомментировать возможность применения тривиального результата комбинаторики :

$$2^N>N$$

к сравнению двух кардиналов : мощности МВМ и мощности МВП.

Основанием для применения является теорема Кантора о множестве всех подмножеств, в доказательстве которой используется знаменитый диагональный метод.

[AD]

pc20b в сообщении #149756 писал(а):

в первом случае следует уточнить, что МВМ является не обычным множеством (для которых доказаны все теоремы К(Н)ТМ).

Все множества - одинаково обычные. Все они удовлетворяют принятым аксиомам (скажем, ZFC - мы ведь о них сейчас говорим, да? Или вы про наивную теорию говорите? Тогда этот разговор вообще не имеет смысла, ибо там реальные противоречия сидят), и, следовательно, всем теоремам, которые на основе этих аксиом получены. Предположив, что есть множество МВМ, мы получаем все теоремы для него просто потому, что мы предположили, что оно не просто "есть", а еще и "множество".

Добавлено спустя 6 минут 4 секунды:

pc20b в сообщении #149756 писал(а):

Его мощность, грубо говоря, - ультракардинал.

Словечко сами придумали?

[pc20b]

Xaositect в сообщении #149760 писал(а):

Основанием для применения является теорема Кантора о множестве всех подмножеств, в доказательстве которой используется знаменитый диагональный метод.

Скажите, пожалуйста, он для "алефов" годится? Как вы "пересчетом" будете "считать" мощность множества мощности континуума и выше?

Добавлено спустя 1 минуту 58 секунд:

AD в сообщении #149763 писал(а):

Словечко сами придумали?

Да. Просьба сказать, если это нельзя.

[AD]

pc20b в сообщении #149756 писал(а):

Я уже заметил, если Вы обратили внимание, один нюанс : т.к. МВМ включает по определению в себя и МВП, то при подсчете (точнее при задании процедуры) его мощности (аккуратном) надо учесть и процедуру определения мощности МВП, откуда неизбежно вытекает, что последняя, тоже будучи кардиналом, уж никак не может оказаться "большей" мощности МВМ. Никакого противоречия здесь вроде бы нет.

А должна быть большей по теореме Кантора о том, что $|2^U|>|U|$, противоречие.

А про "процедуры" - это не серьезно. Как вы думаете, за сколько шагов завершатся ваши "процедуры"?

Добавлено спустя 1 минуту 5 секунд:

pc20b в сообщении #149765 писал(а):

Скажите, пожалуйста, он для "алефов" годится?

Щас-щас, допишу доказательство.

pc20b в сообщении #149765 писал(а):

Просьба сказать, если это нельзя.

Ну нужно определения давать только. А так можно.

[pc20b]

AD в сообщении #149763 писал(а):

Предположив, что есть множество МВМ, мы получаем все теоремы для него просто потому, что мы предположили, что оно не просто "есть", а еще и "множество".

К сожалению, скорее всего, если внимательно взглянуть на процедуру доказательств, то окажется, что они оперируют с понятиями, относящимися либо к конечным, либо счетным множествам. В частности, теорема Кантора. Скажите, Вы можете указать процедуру подсчета "числа элементов" множества мощности континуума и выше?

[AD]

Теорема. Если $U$ - множество, то $|2^U|>|U|$.

Доказательство. Ясно, что $|2^U|\ge|U|$, хотя бы потому, что $U$ можно вложить в $2^U$ отображением $u\mapsto \{u\}$. Предположим, что $|2^U|=|U|$, тогда существует биекция $f:U\to 2^U$. Рассмотрим множество $V=\{u\in U: u\notin f(u)\}$. Так как $f$ - биекция, то существует такое $v\in U$, что $V=f(v)$.

Предположим, что $v\in V$. Но тогда $v\notin f(v)=V$ по определению $V$. Предположим, что $v\notin V$. Но тогда $v\in f(v)=V$ по определению $V$. Противоречие. $\square$

Добавлено спустя 51 секунду:

Короче, если внимательно посмотреть - это и есть диагональный метод Кантора, ничего более.

[pc20b]

AD в сообщении #149766 писал(а):

Ну нужно определения давать только. А так можно.

Кардинал - это $exp (|U|)$. Ультракардинал - это $exp (exp (...exp (|U|)...)$.

Добавлено спустя 3 минуты 40 секунд:

AD в сообщении #149766 писал(а):

А про "процедуры" - это не серьезно. Как вы думаете, за сколько шагов завершатся ваши "процедуры"?

Видите ли какое дело, тут дело даже не в том, за какое число шагов завершается такая процедура - пусть она не завершится никогда - а хотя бы в том, чтобы указать хоть одну процедуру определения мощности.

[AD]

pc20b в сообщении #149768 писал(а):

Скажите, Вы можете указать процедуру подсчета "числа элементов" множества мощности континуума и выше?

А зачем? Мощность корректно определена, хотя это не значит, что мы умеем ее считать.