Задача про функции Лагранжа

[ValfennayaVaflaya]

Здравствуйте все, я зашел в тупик при решении этой задачи, хочу попросить совет, как двигаться дальше. Спасибо!

Вот задача:

Функции Лагранжа $L_1(q, \dot{q}, t)$ и $L_2(q, \dot{q}, t)$ порождают тождественные уравнения.

Показать, что эти функции отличаются на $\frac{d\psi(q, t)}{dt}$, где $\psi(q, t)$ - произвольная функция.

Попытка решения:

$T_2 - V_2 = L_2 = L_1 + f(q, \dot{q}, t) = T_1 - V_1 + f(q, \dot{q}, t)$, где

$T_1, T_2$ - кинетические энергии.

$V_1, V_2$ - обобщенные потенциалы.

Отсюда следует, что $f(q, \dot{q}, t) - V_1$ тоже обобщенный потенциал. Пусть $f(q, \dot{q}, t) - V_1 = \tilde{V}$.

Обобщенная сила

$$\tilde{Q_i} = \frac{d}{dt}\frac{\partial\tilde{V}}{\partial\dot{q_i}} - \frac{\tilde{V}}{\partial q_i} = \sum\frac{\partial^2\tilde{V}} {\partial\dot{q_i}\partial\dot{q_j}}\ddot{q_j} + \varphi (q, \dot{q}, t)$$

$\tilde{Q}$ не зависит от ускорений $\Rightarrow \frac{\partial^2\tilde{V}}{\partial\dot{q_i}\partial\dot{q_j}} = 0 \Rightarrow \tilde{V} = \sum A_j(q, t)\dot{q_j} + V_{00}(q, t)$. Т.к. $V_1 = \sum B_j(q, t)\dot{q_j} + V_{01}(q, t)$,

то $f(q, \dot{q}, t) = \sum C_j(q, t)\dot{q_j} + V_{03}(q, t)$. Получилось, что $f$ линейна по обобщенным скоростям,
но как связать это с тем, что она есть полная производная какой-то произвольной функции $\psi$ по времени я не знаю.

[Neloth]

ValfennayaVaflaya в сообщении #1497411 писал(а):

Отсюда следует, что $f(q, \dot{q}, t) - V_1$ тоже обобщенный потенциал.

почему именно потенциал?

-- Пн дек 21, 2020 21:24:06 --

Насколько я понимаю, задача была показать, что уравнения Лагранжа тождественно выполняются для функций определенного вида. Обе функции Лагранжа, а особенно их части, здесь вообще не нужны.

[Red_Herring]

На самом деле в такой общей постановке задача тривиально неверна: функции отличающиеся постоянным множителем порождают одни и те же уравнения. Возможно, что имелись в виду функции Лагранжа специального вида, но в формулировке это отсутствует.