2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Два протона и электрон
Сообщение13.12.2020, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2030
Минск, Беларусь
Доказать, что в молекулярном ионе $\rm{H_2^+}$ равновесное межъядерное расстояние очень близко к двум боровским радиусам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два протона и электрон
Сообщение13.12.2020, 23:30 


20/04/10
1232
Русь
Это классика, задачу ежегодно на семинарах разбирают. Используется метод Ритца, пробная функция берётся в виде линейной комбинации $s$-состояний центры которых совпадают с протонами. Протоны в приближении Борна-Опенгеймера неподвижны, расстояние между ними $R$. Затем минимизируется функционал энергии молекулы-иона. Вариационных параметров два, это $R$ и эффективный радиус для $s$-состояний.

Подробное решение можно посмотреть в задачнике З. Флюгге, том 1, "Ион молекулы водорода".

 Профиль  
                  
 
 Re: Два протона и электрон
Сообщение19.12.2020, 01:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2030
Минск, Беларусь
Там решается численно, и получается не очень близко к двум борам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два протона и электрон
Сообщение19.12.2020, 12:12 


20/04/10
1232
Русь
Да разве там численно? Разумеется это не так. Давайте смотреть внимательнее.
Да, используется вариационный метод, который даёт приближённый ответ. Но само решение полностью аналитическое, кроме поиска минимума энергии; тут уж ничего не поделать -- трансцендентность. Интегралы перекрытия, кулоновский и обменный вычислены аналитически; показан переход к эллипсоидальным координатам, в которых естественно рассматривать задачу. Таким образом, для выбранной пробной функции, полная энергия иона (в третьем издании это формула 44.25) получена честно. Дальнейший поиск минимума с помощью табулированной таблички объясняется временем написания задачника -- не было тогда ещё систем компьютерной алгебры, а студентам объяснять нужно, отсюда такой несовременный способ. Нынче студенты поступают так:
Код:
In[6]:= Energy[y_,R_]:=-(y^2/2)+(y(y-1)-(1-(1+y R)E^(-2y R))/R+y(y-2)(1+y R)E^(-y R))/(1+(1+y R+1/3 y^2 R^2)E^(-y R))+1/R;
In[7]:= FindMinimum[Energy[y,R],{y,R}]
Out[7]= {-0.586507,{y->1.23803,R->2.0033}}

По поводу точности: $2.0033$ достаточно близко к $2$. Но если нужно ещё точнее, то в условии следует указать насколько. Добавляя другие состояния в пробную функцию, точность можно повышать.

Кстати, вот интересная работа https://arxiv.org/pdf/physics/0607081.pdf. Авторы показывают как получать результаты с любой желаемой точностью. У них получается $R = 1.997193319969992...$ По-моему, они даже несколько перестарались с количеством значащих цифр)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group