Два протона и электрон

[Droog_Andrey]

Доказать, что в молекулярном ионе $\rm{H_2^+}$ равновесное межъядерное расстояние очень близко к двум боровским радиусам.

[lel0lel]

Это классика, задачу ежегодно на семинарах разбирают. Используется метод Ритца, пробная функция берётся в виде линейной комбинации $s$-состояний центры которых совпадают с протонами. Протоны в приближении Борна-Опенгеймера неподвижны, расстояние между ними $R$. Затем минимизируется функционал энергии молекулы-иона. Вариационных параметров два, это $R$ и эффективный радиус для $s$-состояний.

Подробное решение можно посмотреть в задачнике З. Флюгге, том 1, "Ион молекулы водорода".

[Droog_Andrey]

Там решается численно, и получается не очень близко к двум борам.

[lel0lel]

Да разве там численно? Разумеется это не так. Давайте смотреть внимательнее.
Да, используется вариационный метод, который даёт приближённый ответ. Но само решение полностью аналитическое, кроме поиска минимума энергии; тут уж ничего не поделать -- трансцендентность. Интегралы перекрытия, кулоновский и обменный вычислены аналитически; показан переход к эллипсоидальным координатам, в которых естественно рассматривать задачу. Таким образом, для выбранной пробной функции, полная энергия иона (в третьем издании это формула 44.25) получена честно. Дальнейший поиск минимума с помощью табулированной таблички объясняется временем написания задачника -- не было тогда ещё систем компьютерной алгебры, а студентам объяснять нужно, отсюда такой несовременный способ. Нынче студенты поступают так:

In[6]:= Energy[y_,R_]:=-(y^2/2)+(y(y-1)-(1-(1+y R)E^(-2y R))/R+y(y-2)(1+y R)E^(-y R))/(1+(1+y R+1/3 y^2 R^2)E^(-y R))+1/R;
In[7]:= FindMinimum[Energy[y,R],{y,R}]
Out[7]= {-0.586507,{y->1.23803,R->2.0033}}

По поводу точности: $2.0033$ достаточно близко к $2$. Но если нужно ещё точнее, то в условии следует указать насколько. Добавляя другие состояния в пробную функцию, точность можно повышать.

Кстати, вот интересная работа https://arxiv.org/pdf/physics/0607081.pdf. Авторы показывают как получать результаты с любой желаемой точностью. У них получается $R = 1.997193319969992...$ По-моему, они даже несколько перестарались с количеством значащих цифр)