Логика названия такова. Перпендикуляр к подпространству в обычном смысле (в смысле гильбертовых пространств, точнее в смысле пространств со скалярным произведением) -- это элемент копроекции к подпространству, т.е. второе слагаемое в разложении
![$x=z+y$ $x=z+y$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/d/61dbac4332309045238a4f2dd1ec827c82.png)
, где
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
принадлежит подпространству,
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
не принадлежит и при этом
![$z\perp y$ $z\perp y$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/1/2f170b913a7d18dc7a2799d8f2b436df82.png)
. Именно в таком порядке, поскольку до теоремы о проекции понятие ортогонального дополнения ещё не определено.
С другой стороны, если уж понятие копроекции уже введено, то этот элемент минимизирует расстояние от
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
до подпространства, и обратно: минимизирующий элемент -- это обязательно копроекция. Говоря формально -- получается определение копроекции, эквивалентное предыдущему.
Так вот, в нормированных пространствах скалярного произведения нет и поэтому первый вариант определения перпендикуляра лишён смысла абсолютно. Второй же -- лишь относительно: если даже и не удастся минимизировать расстояние до подпространства в точности, то можно хотя бы надеяться сделать это сколь угодно точно. (Другое дело, что, в отличие от гильбертова случая, тут нет, вообще говоря, однозначности.)