Метод математической индукции

[Vladimir Pliassov]

Aritaborian в сообщении #1496971 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1496970 писал(а):

Если имеется конечная последовательность $S_n$

Это не последовательность. Это число. Сумма, зависящая от $n$. Функция от $n$.

Да, конечно, это я не подумал. Переформулирую.

Если имеется конечная числовая сумма

$$S_n=\frac {1}{1\cdot 2}+\frac {1}{2\cdot 3}+\frac {1}{3\cdot 4}+\cdots+\frac {1}{n(n+1)},$$

то имеется в виду, что $n$ это номер последнего слагаемого. Так?

Aritaborian в сообщении #1496971 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1496970 писал(а):

$i$ в записи $\sum\limits_{i=1}^{k}\frac{1}{i(i + 1)}$ употребляется для обозначения произвольного натурального числа от $1$ до $k$

Всех чисел в этом промежутке, взятых по одному разу.

Но можно ли все-таки сказать: "для обозначения произвольного натурального числа от $1$ до $k$"?

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496981 писал(а):

то имеется в виду, что $n$ это номер последнего слагаемого

Нет, имеется в виду, что $i$-е слагаемое имеет вид $\frac{1}{i(i + 1)}$, а для $S_n$ последнее слагаемое - $\frac{1}{n(n+1)}$.
Могло бы быть, например, $P_n = 1 + 2 + \ldots + \lfloor \sqrt{n}\rfloor$ - тут число слагаемых для $P_n$ уже не равно $n$.

Vladimir Pliassov в сообщении #1496981 писал(а):

Но можно ли все-таки сказать: "для обозначения произвольного натурального числа от $1$ до $k$"?

Лучше не надо.
Есть некоторый плохо формализуемый "сленг", к которому надо привыкнуть и научиться понимать, какие за ним стоят формулы и математические объекты.

[Aritaborian]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496981 писал(а):

то имеется в виду, что $n$ это номер последнего слагаемого. Так?

В данном случае это, очевидно, так. Но не всегда так будет.

Vladimir Pliassov в сообщении #1496981 писал(а):

Но можно ли все-таки сказать: "для обозначения произвольного натурального числа от $1$ до $k$"?

Лучше так не говорить.

[Vladimir Pliassov]

Aritaborian в сообщении #1496985 писал(а):

Лучше так не говорить

mihaild в сообщении #1496982 писал(а):

Есть некоторый плохо формализуемый "сленг", к которому надо привыкнуть и научиться понимать, какие за ним стоят формулы и математические объекты.

Спасибо, я понял, что значит "взятых по одному разу" (всех чисел в этом промежутке), так что теперь мне это выражение даже и не кажется "сленгом".

Aritaborian в сообщении #1496985 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1496981 писал(а):

то имеется в виду, что $n$ это номер последнего слагаемого. Так?

В данном случае это, очевидно, так. Но не всегда так будет.

Я имел в виду именно в этом случае, особенно, учитывая, что в тексте говорится о том, что $n$ может принимать значения $k$ и $k+1$, то есть что последний номер $n$ может быть равен как $k$, так и $k+1$.

Вообще же, как я понимаю, в случаях, когда последний номер $n$ может принимать значение $k+a$, где $a$ некоторое натуральное число, не большее $n-1$, или нуль ($k\,\,-$ натуральное число), $k$ потому и вводится, чтобы была величина, могущая быть равной не только последнему номеру.

В разбираемом доказательстве должно подразумеваться, что, поскольку $n$ это номер последнего слагаемого, запись с участием $n+1$ в данном контексте употребляться не может (поскольку $n$ это последний номер, номера $n+1$ быть не может).

(Кстати, запись с участием $n-1$ в данном контексте употребляться, разумеется, может.)

Но запись с участием $k+1$ в данном контексте употребляться может.

$n$ употребляется здесь только для обозначения номера последнего слагаемого, $k\,\,-$ для обозначения номера либо последнего, либо предпоследнего слагаемого.

В каком-то похожем случае речь могла бы идти об $n+1$, но тогда должно было бы иметься еще некоторое $m$, равное последнему номеру, которое могло бы принимать значение $n+1$, и была бы цепь "$m$, могущее принимать значение $n+1$; $\,\,$ $n$, могущее принимать значение $k+1$" (ее можно было бы продолжить), но в данном случае я не вижу, чтобы была такая цепь.

[Vladimir Pliassov]

Вопрос: гипотеза выдвигается (высказывается) для $k$ или для $n$?

Ответ: гипотеза выдвигается для $n$.

Затем она проверяется для $n=1$ и, в предположении, что она верна для $n=k$, доказывается, что она верна для $n=k+1$.

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496999 писал(а):

В разбираемом доказательстве должно подразумеваться, что, поскольку $n$ это номер последнего слагаемого, запись с участием $n+1$ в данном контексте употребляться не может (поскольку $n$ это последний номер, номера $n+1$ быть не может).
[...]
$n$ употребляется здесь только для обозначения номера последнего слагаемого, $k\,\,-$ для обозначения номера либо последнего, либо предпоследнего слагаемого.

Вы опять фокусируетесь на обозначениях и символах, но теряете за ними смысл. В обозначениях данного доказательства символ $k$ выступает только в качестве замены понятия "произвольное натуральное число $n$", и никакого другого сакрального смысла в нем нет. При желании, можно было во всем доказательстве использовать только символ $n$, т.е. увеличивать потом на $1$ именно $n$, а не $k$, и ничего в содержательном смысле бы при этом не поменялось.

Фактически же в доказательстве именно это и происходит. Если сначала берется $n=k$, где $k$ это произвольное натуральное число, а потом $n=k+1$, то это тоже самое, что сначала берется произвольное натуральное число $n$, а потом $n+1$

Вас просто запутала формулировка принципа математической индукции из Соминского. Там она звучит так:

Соминcкий в Метод математической индукции писал(а):

Утверждение справедливо для всякого натурального $n$, если: 1) оно справедливо для $n=1$ и 2) из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального $n=k$ следует его справедливость для $n=k+1$

но это с равной силой можно переформулировать следующим образом:

Цитата:

Утверждение справедливо для всякого натурального $n$, если: 1) оно справедливо для $n=1$ и 2) из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального $n$ следует его справедливость для $n+1$.

На самом деле, чаще его формулируют именно в последнем виде, см. например статью про математическую индукцию в википедии (не пренебрегайте другими учебниками или просто гуглением, если вам что-то в некоем понятии или доказательстве непонятно; тогда будет шанс найти альтернативную формулировку или подход, которые лучше прояснят для вас дело). Просто в некоторых пособиях авторы считают, что будет понятнее если ввести еще один символ типа $k$, но кого-то это наоборот может только сбивать с толку.

В этих обозначениях ваша первая цитата звучала бы так:

Цитата:

Т е о р е м а ${}$ 1. Для $n=1$ гипотеза верна, так как $S_1=\frac {1}{2}.$

Т е о р е м а ${}$ 2. Предположим, что гипотеза верна для произвольного натурального $n$, т. е. что

$$S_n=\frac {1}{1\cdot 2}+\frac {1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac {1}{n(n+1)}=\frac {n}{n+1},$$

где $n - \,\,$ некоторое натуральное число. Докажем, что тогда гипотеза обязана быть верной и для $n+1,$ т.е. что

$$S_{n+1}=\frac {n+1}{n+2}.$$

Действительно ...

И далее вы тоже продолжали бы оперировать только с $n$ без каких-то дополнительных $k$.

[Otta]

Odysseus в сообщении #1497026 писал(а):

Предположим, что гипотеза верна для произвольного натурального $n$, т. е. что

$$S_n=\frac {1}{1\cdot 2}+\frac {1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac {1}{n(n+1)}=\frac {n}{n+1},$$

Во-первых, это именно то, что нужно доказать (основное утверждение).
Во-вторых, из истинности этого утверждения автоматически следует истинность

Odysseus в сообщении #1497026 писал(а):

тогда гипотеза обязана быть верной и для $n+1,$

т.к. $n+1$ тоже натурально.

Слова неудачные, смысл изменен до неузнаваемости. Если уж оформлять в виде "теорем", то как-то так (теорема 2):
Если утверждение

$$S_n=\frac {1}{1\cdot 2}+\frac {1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac {1}{n(n+1)}=\frac {n}{n+1},$$

истинно, то верно и утверждение

$$S_{n+1}=\frac {n+1}{n+2}$$

при каждом $n\in \mathbb N$.

Импликация верна при каждом $n$, а не что-то еще.

[Odysseus]

Ну я использовал термин "произвольное натуральное $n$" в том же смысле, что и в Соминском, на которого ссылался ТС. Там в формулировке метода математической индукции под "произвольное" понималось "некоторое".

Общий формат формулировки теоремы тоже оттуда, чтобы ТС видел, что можно все формулировать идентично, только без $k$. И в формулировке теоремы поясняется, что $n - \,\,$ это именно некоторое натуральное число.

С тем, что что термин "произвольное" в данном контексте неудачен и его не нужно было использовать в начале формулировки теоремы - я согласен. Лучше было бы "Предположим, что гипотеза верна для некоторого натурального $n$", и далее после формулы для $S_n$ слов "где $n - \,\,$ некоторое натуральное число" уже не нужно было.

[Otta]

Odysseus в сообщении #1497036 писал(а):

Лучше было бы "Предположим, что гипотеза верна для некоторого натурального $n$",

Не, из этого индукции не получится.
А затею я поняла.

Odysseus в сообщении #1497036 писал(а):

Там в формулировке метода математической индукции под "произвольное" понималось "некоторое".

Не понималось. У Соминского именно истинность импликации для каждого $k$. Иначе индукция сломается. Это проще всего рисовать :) наглядно.

-- 18.12.2020, 12:58 --

Odysseus в сообщении #1497026 писал(а):

где $n - \,\,$ некоторое натуральное число. Докажем, что тогда

Ваше последнее исправление ничего не изменило, поскольку перед тем $n$ было произвольным натуральным. Провозглашение истинности для произвольного числа - сильнее.

[gris]

Ой, если уже было и осмеяно, тогда пардон. Короче, идея такая:
$S_n=S_n+\dfrac {1}{n+1}-\dfrac {1}{n+1}=S_{n-1}+\dfrac {1}{n(n+1)}+\dfrac {1}{n+1}-\dfrac {1}{n+1}=$
$=S_{n-1}+\dfrac {1}{n}-\dfrac {1}{n+1}=S_{n-2}+\dfrac {1}{n-1}-\dfrac {1}{n+1}=...=S_{1}+\dfrac {1}{2}-\dfrac {1}{n+1}=1-\dfrac {1}{n+1}=\dfrac {n}{n+1}
И там всё, как домино падает влево. И что-то индукционное даже проглядывает

Я немножко знаки перепутал и поправил.

[Odysseus]

Otta
Вы занимаетесь буквоедством и бурбакизмом, понятно же в чем дело :)

Otta в сообщении #1497037 писал(а):

Не понималось

Я следуя ТС ссылался на Соминского, где в формулировке принципа математической индукции было "из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального $n=k$ следует его справедливость для $n=k+1$". Здесь же тоже можно придраться к термину "произвольного" с тем же успехом. То, что при этом пишется $n=k$ никак не влияет на произвольность $n$, т.е. тоже можно сказать, что раз $n$ произвольное натуральное число, то значит это уже по формулировке верно для $n+1$ и значит для всех натуральных чисел.

Otta в сообщении #1497037 писал(а):

Ваше последнее исправление ничего не изменило, поскольку перед тем $n$ было произвольным натуральным.

Нет, я же выше поменял на "некоторое". Но понятно же, что не имелось в виду, что это только, когда $n$ равно какому-то конкретному числу типа 5.

Суть была в том, что нет необходимости добавлять какое-то $k$ и часто оно и не добавляется. При этом будет предположение, что некое утверждение $P(n)$ верно. Но чему равно $n$ в данном $P(n)$? Если никак не определять $n$, то что вообще тогда фигурирует в той же сумме $S_n$? Можно называть это $n$ "произвольным натуральным числом", как часто и делается, можно "некоторым", как у того же Соминского в доказательстве теоремы для $S_n$, можно "некоторым произвольным". Главное - понимать, что это значит.

Если совсем уж формально, то нужно было бы сформулировать принцип математической индукции так

"Если утверждение $P(n)$, зависящее от натурального числа n
1) верно для $n = 1$, и
2) для любого натурального $n$ верно утверждение "если $P(n)$ верно, то и $P(n + 1)$ верно",
то утверждение $P(n)$ верно для любого натурального $n$."

Но здесь возникает рекурсия с одним "если" вложенным в другое, поэтому у ТС будет шанс еще больше запутаться. Но если он поймет его в такой формулировке - отлично.

[Otta]

Odysseus в сообщении #1497042 писал(а):

Вы занимаетесь буквоедством и бурбакизмом, понятно же в чем дело :)

А, ну хорошо.
Как Вам угодно.

[Odysseus]

Ну я не пытаюсь отделаться от ваших комментариев. Я привел несколько вариантов как называть $n$ в сумме $S_n$. Как-то определить его же нужно, иначе непонятно что это будет за число и что за сумма. Если просто сказать "натуральное число", то сразу будет вопрос: "Какое именно?". Если сказать, что $n=k$, а потом $n=k+1$, то лучше не становится, поскольку такие же вопросы тогда будут про число $k$.

"Произвольное" и "некоторое" вам не понравились, я тогда предложил вариант "некоторое произвольное". Если у вас есть более корректный вариант - буду рад его услышать.

[Vladimir Pliassov]

gris в сообщении #1497039 писал(а):

Короче, идея такая:
$S_n=S_n-\dfrac {1}{n+1}+\dfrac {1}{n+1}=S_{n-1}+\dfrac {1}{n(n+1)}-\dfrac {1}{n+1}+\dfrac {1}{n+1}=$
$=S_{n-1}-\dfrac {1}{n}+\dfrac {1}{n+1}=S_{n-2}-\dfrac {1}{n-1}+\dfrac {1}{n+1}=...$
И там всё, как домино падает влево.

У меня получается

$$S_{n-1}+[\dfrac {1}{n(n+1)}-\dfrac {1}{n+1}]+\dfrac {1}{n+1}=S_{n-1}+[\dfrac {1-n}{n(n+1)}]+\dfrac {1}{n+1},$$

а не

$$S_{n-1}+[\dfrac {1}{n(n+1)}-\dfrac {1}{n+1}]+\dfrac {1}{n+1}=S_{n-1}+[-\dfrac {1}{n}]+\dfrac {1}{n+1}.$$

-- 18.12.2020, 13:49 --

Odysseus в сообщении #1497050 писал(а):

... как называть $n$ в сумме $S_n$. Как-то определить его же нужно ...

У Соминского

Цитата:

$S_n=\frac {n}{n+1}$ при всяком натуральном $n$.

[gris]

Vladimir Pliassov, я там немного знаки перепутал и поправил