О фундаментальном законе сохранения импульса

[Tiho]

Закон сохранения импульса отражает начальные и конечные движения взаимодействующих тел при их столкновении. Но что происходит в самом столкновении (в процессе этого столкновения), какие силы там действуют - этого закон не отражает. Создаётся впечатление, что здесь можно применить приём И.В. Савельева из "Задачи двух тел" - см. книгу И.В. Савельев. Курс общей физики: учеб. пособие для втузов. В 5 кн. Кн 1. Механика. - М. ООО "издательство Астрель", "издательство АСТ", 2001. Применив этот приём получаем, что сила взаимодействия тел (при их столкновении) равна приведённой массе умноженной на приращение относительной скорости в единицу времени. Ничего подобного в известной мне литературе найти не удалось.

Встречал ли кто-нибудь что-либо подобное?

[DimaM]

Tiho в сообщении #1497033 писал(а):

Применив этот приём получаем, что сила взаимодействия тел (при их столкновении) равна приведённой массе умноженной на приращение относительной скорости в единицу времени. Ничего подобного в известной мне литературе найти не удалось.

Встречал ли кто-нибудь что-либо подобное?

Выглядит как переписанный словами второй закон Ньютона $\frac{d{\bf p}}{dt}={\bf F}$.

[Tiho]

DimaM в сообщении #1497034 писал(а):

Tiho в сообщении #1497033 писал(а):

Применив этот приём получаем, что сила взаимодействия тел (при их столкновении) равна приведённой массе умноженной на приращение относительной скорости в единицу времени. Ничего подобного в известной мне литературе найти не удалось.

Встречал ли кто-нибудь что-либо подобное?

Выглядит как переписанный словами второй закон Ньютона $\frac{d{\bf p}}{dt}={\bf F}$.

В том-то и дело, что речь о том, чему равна сила без стандартного $\frac{d{\bf p}}{dt}$. И в общепринятом $\frac{d{\bf p}}{dt}$ нет приведённой массы.

[Neloth]

Tiho в сообщении #1497033 писал(а):

Но что происходит в самом столкновении (в процессе этого столкновения), какие силы там действуют - этого закон не отражает.

Вам насколько точный ответ нужен? Чтобы посчитать силу, нужно выяснить/представить/предположить/придумать, что именно происходит в процессе удара.

[amon]

Tiho в сообщении #1497033 писал(а):

Но что происходит в самом столкновении (в процессе этого столкновения), какие силы там действуют - этого закон не отражает.

Непонятно, что хотим изучать. Если считаем тела абсолютно твердыми (скорость звука кладем равной бесконечности), то ничего, кроме закона сохранения импульса, не нужно. Если хотим узнать детали того, как взаимодействуют тела во время удара, то это задача теории упругости, много где рассмотренная.

[DimaM]

Tiho в сообщении #1497065 писал(а):

В том-то и дело, что речь о том, чему равна сила без стандартного $\frac{d{\bf p}}{dt}$. И в общепринятом $\frac{d{\bf p}}{dt}$ нет приведённой массы.

Не, именно со стандартным. Переходим в систему центра масс - и приведенная масса появляется легко и естественно.

[Tiho]

DimaM в сообщении #1497139 писал(а):

Tiho в сообщении #1497065 писал(а):

В том-то и дело, что речь о том, чему равна сила без стандартного $\frac{d{\bf p}}{dt}$. И в общепринятом $\frac{d{\bf p}}{dt}$ нет приведённой массы.

Не, именно со стандартным. Переходим в систему центра масс - и приведенная масса появляется легко и естественно.

Вопрос изначально (см. самый первый пост) не о приведённой массе самой по себе, а о приведённой массе умноженной на приращение относительной скорости в единицу времени - то есть о силе на основе приведённой массы. И в приведённой выше книге И.В.Савельева используется приём, где он не переходит в систему центра масс - то есть получается что сила на основе приведённой массы не есть следствие перехода в систему центра масс.

[DimaM]

Tiho в сообщении #1497142 писал(а):

Вопрос изначально (см. самый первый пост) не о приведённой массе самой по себе, а о приведённой массе умноженной на приращение относительной скорости в единицу времени - то есть о силе на основе приведённой массы.

Ответ на вопрос: это просто запись второго закона Ньютона в системе центра масс.

Tiho в сообщении #1497142 писал(а):

И в приведённой выше книге И.В.Савельева используется приём, где он не переходит в систему центра масс - то есть получается что сила на основе приведённой массы не есть следствие перехода в систему центра масс.

Это уже какие-то лингвистические тонкости, для собственно физики малоинтересные.

Еще замечание, которое уже было выше высказано: когда рассматриваются столкновения, обычно абстрагируются от деталей взаимодействия, и задача сводится к законам сохранения. Если же хочется не формально рассмотреть (а ваше замечание - это исключительно формализм), то, как писал amon, необходимо применять теорию упругости и учитывать все детали.

[Tiho]

DimaM в сообщении #1497144 писал(а):

Tiho в сообщении #1497142 писал(а):

Вопрос изначально (см. самый первый пост) не о приведённой массе самой по себе, а о приведённой массе умноженной на приращение относительной скорости в единицу времени - то есть о силе на основе приведённой массы.

Ответ на вопрос: это просто запись второго закона Ньютона в системе центра масс.

Tiho в сообщении #1497142 писал(а):

И в приведённой выше книге И.В.Савельева используется приём, где он не переходит в систему центра масс - то есть получается что сила на основе приведённой массы не есть следствие перехода в систему центра масс.

Это уже какие-то лингвистические тонкости, для собственно физики малоинтересные.

Еще замечание, которое уже было выше высказано: когда рассматриваются столкновения, обычно абстрагируются от деталей взаимодействия, и задача сводится к законам сохранения. Если же хочется не формально рассмотреть (а ваше замечание - это исключительно формализм), то, как писал amon, необходимо применять теорию упругости и учитывать все детали.

Ещё немного подумал и похоже, что вы правы. В связи с этим не могли бы вы написать где в литературе освещается упомянутый вами приём, где переход в систему центра масс даёт приведённую массу. Буду очень вам благодарен.

[Neloth]

Приведенная масса в задаче двух тел упоминается наверное везде, где упоминается сама задача двух тел, хоть в Курсе общей физики Сивухина, хоть в Классической механике Голдстейна, хоть у Ландау и Лифшица можете посмотреть как это выглядит, но написано везде примерно то же, что вы уже прочитали у Савельева, к эквивалентной задаче для одного тела вот так вот просто сводится и решается только задача двух тел.

[Tiho]

Neloth в сообщении #1497171 писал(а):

... к эквивалентной задаче для одного тела вот так вот просто сводится и решается только задача двух тел.

Масса это не тело, соответственно приведённая масса ("одно тело к которому сводится задача взаимодействия 2-х тел") это тоже не тело, а свойство взаимодействия двух тел. И отсюда вопрос: какие этапы проходит процесс формирования этой приведённой массы ("одного тела"). А возникает тут вопрос об этих этапах так как ни что не возникает мгновенно.

[Neloth]

Вообще, идея приведения масс (и моментов инерции) состоит в том, что мы заменяем механическую систему, рассмотренную относительно некоторой системы отсчета, воображаемым телом, движущимся в заданных нами условиях таким образом, чтобы его кинетическая энергия была равна кинетической энергии исходной механической системы (как все это реализуется в жизни, можно, например, посмотреть в теории механизмов и машин).
В случае задачи двух тел

$$T=\frac{m_1\boldsymbol{\dot{R}}_1^2}{2}+\frac{m_2\boldsymbol{\dot{R}}_2^2}{2}=\frac{m_1\left(\boldsymbol{\dot{R}}_c +\boldsymbol{\dot{r}}_1\right)^2}{2}+\frac{m_2\left(\boldsymbol{\dot{R}}_c +\boldsymbol{\dot{r}}_2\right)^2}{2}=$$

$$=\frac{\left(m_1+m_2\right)}{2}\boldsymbol{\dot{R}}_c^2+\left(m_1\boldsymbol{\dot{r}}_1+m_2\boldsymbol{\dot{r}}_2\right)\boldsymbol{\dot{R}}_c+\frac{m_1\boldsymbol{\dot{r}}_1^2}{2}+\frac{m_2\boldsymbol{\dot{r}}_2^2}{2}$$

при этом $\left(m_1\boldsymbol{\dot{r}}_1+m_2\boldsymbol{\dot{r}}_2\right)$, во-первых, по определению центра масс равно нулю, из-за чего кинетическая энергия распадается на составляющие $T=T_c+T_1+T_2$, соответствующие движению центра масс всей системы и движению каждого из тел относительно центра масс,
а во-вторых, поскольку равно нулю, а координат всего две, позволяет выразить $T_1+T_2$ через расстояние между телами $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1$.
Сделав соответствующие преобразования, мы смотрим на кинетическую энергию

$$T=\frac{\left(m_1+m_2\right)}{2}\boldsymbol{\dot{R}}_c^2+\frac 1 2 \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\boldsymbol{\dot{r}}^2$$

и подмечаем две вещи:
во-первых, $\boldsymbol{\dot{R}}_c$ зависит от выбора системы отсчета, в которой рассматривается исходная задача,
во-вторых, поскольку в нашей задаче силы зависят только от расстояния между телами, значение $\boldsymbol{\dot{R}}_c$ нам вообще низачем не нужно, и систему отсчета лучше выбрать такую, где $\boldsymbol{\dot{R}}_c=0$.
В системе отсчета, связанной с центром масс, $\boldsymbol{R}_c\equiv0$

$$T=\frac12 \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\boldsymbol{\dot{r}}^2$$

то есть $T$ равна кинетической энергии материальной точки массой $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}$, движущейся в некоторой параллельной действительности в поле внешних сил. Зная, как именно взаимодействуют тела, мы можем описать эти силы и составить уравнение движения этой точки.
Рассмотрением этой гипотетической ситуации мы и заменяем исходную задачу.

При этом в тривиальном случае два тела могут вообще никак не взаимодействовать, но мы все равно можем рассмотреть их как систему и построить описание той параллельной действительности, в которой движется соответствующая им материальная точка.

[DimaM]

Tiho в сообщении #1497186 писал(а):

И отсюда вопрос: какие этапы проходит процесс формирования этой приведённой массы ("одного тела"). А возникает тут вопрос об этих этапах так как ни что не возникает мгновенно.

Это филозофия в худшем смысле слова. В приличном обществе таких выражений лучше не употреблять.

[Tiho]

Neloth в сообщении #1497196 писал(а):

Вообще, идея приведения масс (и моментов инерции) состоит в том, что мы заменяем механическую систему, рассмотренную относительно некоторой системы отсчета, воображаемым телом, движущимся в заданных нами условиях таким образом, чтобы его кинетическая энергия была равна кинетической энергии исходной механической системы (как все это реализуется в жизни, можно, например, посмотреть в теории механизмов и машин).
В случае задачи двух тел

$$T=\frac{m_1\boldsymbol{\dot{R}}_1^2}{2}+\frac{m_2\boldsymbol{\dot{R}}_2^2}{2}=\frac{m_1\left(\boldsymbol{\dot{R}}_c +\boldsymbol{\dot{r}}_1\right)^2}{2}+\frac{m_2\left(\boldsymbol{\dot{R}}_c +\boldsymbol{\dot{r}}_2\right)^2}{2}=$$

$$=\frac{\left(m_1+m_2\right)}{2}\boldsymbol{\dot{R}}_c^2+\left(m_1\boldsymbol{\dot{r}}_1+m_2\boldsymbol{\dot{r}}_2\right)\boldsymbol{\dot{R}}_c+\frac{m_1\boldsymbol{\dot{r}}_1^2}{2}+\frac{m_2\boldsymbol{\dot{r}}_2^2}{2}$$

при этом $\left(m_1\boldsymbol{\dot{r}}_1+m_2\boldsymbol{\dot{r}}_2\right)$, во-первых, по определению центра масс равно нулю, из-за чего кинетическая энергия распадается на составляющие $T=T_c+T_1+T_2$, соответствующие движению центра масс всей системы и движению каждого из тел относительно центра масс,
а во-вторых, поскольку равно нулю, а координат всего две, позволяет выразить $T_1+T_2$ через расстояние между телами $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1$.
Сделав соответствующие преобразования, мы смотрим на кинетическую энергию

$$T=\frac{\left(m_1+m_2\right)}{2}\boldsymbol{\dot{R}}_c^2+\frac 1 2 \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\boldsymbol{\dot{r}}^2$$

и подмечаем две вещи:
во-первых, $\boldsymbol{\dot{R}}_c$ зависит от выбора системы отсчета, в которой рассматривается исходная задача,
во-вторых, поскольку в нашей задаче силы зависят только от расстояния между телами, значение $\boldsymbol{\dot{R}}_c$ нам вообще низачем не нужно, и систему отсчета лучше выбрать такую, где $\boldsymbol{\dot{R}}_c=0$.
В системе отсчета, связанной с центром масс, $\boldsymbol{R}_c\equiv0$

$$T=\frac12 \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\boldsymbol{\dot{r}}^2$$

то есть $T$ равна кинетической энергии материальной точки массой $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}$, движущейся в некоторой параллельной действительности в поле внешних сил. Зная, как именно взаимодействуют тела, мы можем описать эти силы и составить уравнение движения этой точки.
Рассмотрением этой гипотетической ситуации мы и заменяем исходную задачу.

При этом в тривиальном случае два тела могут вообще никак не взаимодействовать, но мы все равно можем рассмотреть их как систему и построить описание той параллельной действительности, в которой движется соответствующая им материальная точка.

Большое спасибо за подробное и простое изложение способа основанного на энергии. Буду осваивать ваш метод. Я, к слову, разборал способ основанный на силе. Ещё раз большое спасибо.

[Pphantom]

Tiho, не надо цитировать все сообщение при ответе без явной необходимости. Если вы хотите обратиться к кому-то - кликните его никнейм, он вставится в сообщение. Если нужно процитировать часть сообщения - выделите ее и нажмите кнопку "Вставка" в правом нижнем углу сообщения, получится требуемая цитата.