Колебания внутри куба

[DimaM]

drug39 в сообщении #1497028 писал(а):

Оси куба - это отрезки соединяющие центры противолежащих граней. Я вот эти имел ввиду

Понятно. Просто есть еще большая и малая диагонали, которые тоже являются осями симметрии.

[AnatolyBa]

DimaM в сообщении #1497014 писал(а):

Вопросик по этому поводу: перекрестные производные $\varphi_{xy}, \varphi_{xz}, \varphi_{yz}$ вы положили равными нулю? Если да, то почему?

Да, это интересный вопрос. Давайте предположим, что они не равны нулю. Получается симметричный тензор, который можно привести к диагональной форме поворотом осей. Ну и как будут выглядеть эти оси? В общем, из симметрии. Из симметрии я сделал вывод, что перекрестные производные равны нулю. Можно еще поразмыслить, как будут выглядеть линии напряженности около центра куба и прийти к такому же заключению.
Да, слова ругательные и к школьникам их лучше не применять. Но это меня совсем не интересовало, а красота результата - да заинтересовала.
Вот, скажем для примера, если на вершины куба налепить одинаковые заряды - динамика малых колебаний не изменится, и это любопытно.
(Кстати, я попытался проверить это непосредственно, а так как искусство безошибочного дифференцирования мною утрачено, даже с пощью вольфрама, убил кучу времени, но в конце концов доказал). Или, скажем, додекаэдр. Там тоже вроде малые колебания будут с той же частотой.

[drug39]

AnatolyBa в сообщении #1497038 писал(а):

Вот, скажем для примера, если на вершины куба налепить одинаковые заряды - динамика малых колебаний не изменится, и это любопытно.

Ничего тут любопытого нету, ибо от того, что Вы шары к вершинам прилепляете, нисколько не меняется $\rho$ в центре. И на счет додекаэдра тоже верно. Любопытное тут другое. Линейность поля на всей оси додекаэдра (без шаров, разумеется). А тут вычисления не принимаются. Нужно доказательство.

(Оффтоп)

Для этого требуется олимпиадное мышление. Вот.

[amon]

DimaM в сообщении #1497014 писал(а):

Вопросик по этому поводу: перекрестные производные $\varphi_{xy}, \varphi_{xz}, \varphi_{yz}$ вы положили равными нулю? Если да, то почему?

На "не школьном" уровне я, вроде, уже ответил. То, что получится, должно быть инвариантным полиномом второго порядка относительно преобразовании симметрии куба. Единственный такой полином в трехмерном пространстве это $x^2+y^2+z^2.$ Значит перекрестные производные можно не считать, а для повторных сосчитать одну, какая нравится. Аналогичный результат, насколько я помню, будет для любого правильного многогранника.