2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Колебания внутри куба
Сообщение16.12.2020, 02:22 
Аватара пользователя


12/02/20
260
Прямой и тонкий канал проходит через центр фиксированного куба. Куб равномерно заряжен, плотность заряда $\rho$. В канале находится частица массы $m$ и заряда $q$. Найти период малых колебаний относительно центра куба. Заряды частицы и куба разноименные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания внутри куба
Сообщение16.12.2020, 08:15 


21/07/20
157

(Оффтоп)

$T=2\pi\sqrt{\frac{3\varepsilon_0 m}{\rho q}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания внутри куба
Сообщение16.12.2020, 11:32 
Заслуженный участник


21/09/15
998
По-моему, образцовая олимпиадная задача

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания внутри куба
Сообщение16.12.2020, 11:52 
Заслуженный участник


28/12/12
6984
AnatolyBa в сообщении #1496704 писал(а):
По-моему, образцовая олимпиадная задача

У нас на муниципальном этапе в этом году была похожая. Только заряд не внутри куба, а внутри равномерно заряженной длинной трубки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания внутри куба
Сообщение16.12.2020, 13:55 
Аватара пользователя


12/02/20
260
Примечательно то что период колебаний такой же как внутри сферы с такими же свойствами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания внутри куба
Сообщение16.12.2020, 14:13 


21/07/20
157
profilescit в сообщении #1496719 писал(а):
Примечательно то что период колебаний такой же как внутри сферы с такими же свойствами.

Ух ты! Не обратил внимание. Неожиданно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания внутри куба
Сообщение16.12.2020, 18:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4511
ФТИ им. Иоффе СПб
Ignatovich в сообщении #1496726 писал(а):
Ух ты! Не обратил внимание. Неожиданно.
Вроде как не очень неожиданно. Насколько я помню, многочлен минимальной степени от трех переменных, инвариантный относительно преобразований симметрии куба - $x^2+y^2+z^2,$ степень других инвариантов выше. Поэтому для многого, что не требует степеней выше второй, результаты для кубической и сферической симметрии совпадают с точностью до множителя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания внутри куба
Сообщение16.12.2020, 18:41 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Что-то меня начинают терзать смутные сомнения.
Я разложил потенциал в окрестности центра куба в ряд по смещению от центра - до членов второго порядка.
Воспользовался симметрией, подставил в уравнение Пуассона и вуаля.
Отсюда видно, что ответ одинаков и для шара и для много чего еще.
Вот это я называю олимпиадным решением.
Не олимпиадное решение - брать интегралы

-- 16.12.2020, 18:43 --

А amon уже написал

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания внутри куба
Сообщение16.12.2020, 21:56 
Аватара пользователя


08/12/08
384
Добавлю вариант. Найти период немалых колебаний вдоль оси куба.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания внутри куба
Сообщение17.12.2020, 06:21 
Заслуженный участник


28/12/12
6984
AnatolyBa в сообщении #1496781 писал(а):
Я разложил потенциал в окрестности центра куба в ряд по смещению от центра - до членов второго порядка.
Воспользовался симметрией, подставил в уравнение Пуассона и вуаля.
Отсюда видно, что ответ одинаков и для шара и для много чего еще.
Вот это я называю олимпиадным решением.
Не олимпиадное решение - брать интегралы

Давычеблин!
Задача для школьников - какое там может быть уравнение Пуассона? :-(

(Оффтоп)

Пусть заряд смещен от центра на $x\ll a$ ($a$ - ребро куба). Очевидно, что параллелепипеды шириной $a/2-x$ с разных сторон заряда дают в сумме нулевую силу. То есть действует только тонкая пластинка толщины $2x$, находящаяся на краю. Ее можно считать куском тонкой плоскости с поверхностным зарядом $\sigma=2\rho x$. Такой кусок плоскости создает перпендикулярное себе поле (а параллельное равно нулю из симметрии) $E_{\perp}=\sigma\Omega$. Телесный угол можно считать таким же, как при наблюдении грани из центра, то есть $\Omega=4\pi/6$. Остается только записать второй закон Ньютона.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания внутри куба
Сообщение17.12.2020, 08:34 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Для школьников или не для школьников, это я не знаю, этого в условии не было.
Про телесный угол не помню, чтобы в школе проходили.
Ваш метод кажется мне прямым (им я тоже решил, но потом, на всякий случай). Если бы только такой метод был, я бы не посчитал задачу особо красивой.
Это, конечно, сугубо личное мнение.
Да, и как канал проходит через центр - в условии не сказано. А если по диагонали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания внутри куба
Сообщение17.12.2020, 08:40 
Заслуженный участник


28/12/12
6984
AnatolyBa в сообщении #1496893 писал(а):
Да, и как канал проходит через центр - в условии не сказано. А если по диагонали?

Поскольку в условии задачи не указано, как, значит, от этого не зависит - выбираем самый простой способ :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания внутри куба
Сообщение17.12.2020, 15:37 
Аватара пользователя


08/12/08
384
В связи с этой задачей олимпиадный вопрос (от меня). Найти внутреннее поле этого куба на его оси.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания внутри куба
Сообщение18.12.2020, 06:35 
Заслуженный участник


28/12/12
6984
drug39 в сообщении #1496938 писал(а):
Найти внутреннее поле этого куба на его оси.

На какой оси?

AnatolyBa в сообщении #1496781 писал(а):
Я разложил потенциал в окрестности центра куба в ряд по смещению от центра - до членов второго порядка.
Воспользовался симметрией, подставил в уравнение Пуассона и вуаля.

Вопросик по этому поводу: перекрестные производные $\varphi_{xy}, \varphi_{xz}, \varphi_{yz}$ вы положили равными нулю? Если да, то почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания внутри куба
Сообщение18.12.2020, 09:42 
Аватара пользователя


08/12/08
384
DimaM в сообщении #1497014 писал(а):
На какой оси?
Оси куба - это отрезки соединяющие центры противолежащих граней. Я вот эти имел ввиду. Самое простое, что можно придумать, по аналогии с эллипсоидом. Т.е. осей этих три, берите любую из них.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group