Колебания внутри куба

[profilescit]

Прямой и тонкий канал проходит через центр фиксированного куба. Куб равномерно заряжен, плотность заряда $\rho$. В канале находится частица массы $m$ и заряда $q$. Найти период малых колебаний относительно центра куба. Заряды частицы и куба разноименные.

[Ignatovich]

(Оффтоп)

$T=2\pi\sqrt{\frac{3\varepsilon_0 m}{\rho q}}$

[AnatolyBa]

По-моему, образцовая олимпиадная задача

[DimaM]

AnatolyBa в сообщении #1496704 писал(а):

По-моему, образцовая олимпиадная задача

У нас на муниципальном этапе в этом году была похожая. Только заряд не внутри куба, а внутри равномерно заряженной длинной трубки.

[profilescit]

Примечательно то что период колебаний такой же как внутри сферы с такими же свойствами.

[Ignatovich]

profilescit в сообщении #1496719 писал(а):

Примечательно то что период колебаний такой же как внутри сферы с такими же свойствами.

Ух ты! Не обратил внимание. Неожиданно.

[amon]

Ignatovich в сообщении #1496726 писал(а):

Ух ты! Не обратил внимание. Неожиданно.

Вроде как не очень неожиданно. Насколько я помню, многочлен минимальной степени от трех переменных, инвариантный относительно преобразований симметрии куба - $x^2+y^2+z^2,$ степень других инвариантов выше. Поэтому для многого, что не требует степеней выше второй, результаты для кубической и сферической симметрии совпадают с точностью до множителя.

[AnatolyBa]

Что-то меня начинают терзать смутные сомнения.
Я разложил потенциал в окрестности центра куба в ряд по смещению от центра - до членов второго порядка.
Воспользовался симметрией, подставил в уравнение Пуассона и вуаля.
Отсюда видно, что ответ одинаков и для шара и для много чего еще.
Вот это я называю олимпиадным решением.
Не олимпиадное решение - брать интегралы

-- 16.12.2020, 18:43 --

А amon уже написал

[drug39]

Добавлю вариант. Найти период немалых колебаний вдоль оси куба.

[DimaM]

AnatolyBa в сообщении #1496781 писал(а):

Я разложил потенциал в окрестности центра куба в ряд по смещению от центра - до членов второго порядка.
Воспользовался симметрией, подставил в уравнение Пуассона и вуаля.
Отсюда видно, что ответ одинаков и для шара и для много чего еще.
Вот это я называю олимпиадным решением.
Не олимпиадное решение - брать интегралы

Давычеблин!
Задача для школьников - какое там может быть уравнение Пуассона?

(Оффтоп)

Пусть заряд смещен от центра на $x\ll a$ ($a$ - ребро куба). Очевидно, что параллелепипеды шириной $a/2-x$ с разных сторон заряда дают в сумме нулевую силу. То есть действует только тонкая пластинка толщины $2x$, находящаяся на краю. Ее можно считать куском тонкой плоскости с поверхностным зарядом $\sigma=2\rho x$. Такой кусок плоскости создает перпендикулярное себе поле (а параллельное равно нулю из симметрии) $E_{\perp}=\sigma\Omega$. Телесный угол можно считать таким же, как при наблюдении грани из центра, то есть $\Omega=4\pi/6$. Остается только записать второй закон Ньютона.

[AnatolyBa]

Для школьников или не для школьников, это я не знаю, этого в условии не было.
Про телесный угол не помню, чтобы в школе проходили.
Ваш метод кажется мне прямым (им я тоже решил, но потом, на всякий случай). Если бы только такой метод был, я бы не посчитал задачу особо красивой.
Это, конечно, сугубо личное мнение.
Да, и как канал проходит через центр - в условии не сказано. А если по диагонали?

[DimaM]

AnatolyBa в сообщении #1496893 писал(а):

Да, и как канал проходит через центр - в условии не сказано. А если по диагонали?

Поскольку в условии задачи не указано, как, значит, от этого не зависит - выбираем самый простой способ

[drug39]

В связи с этой задачей олимпиадный вопрос (от меня). Найти внутреннее поле этого куба на его оси.

[DimaM]

drug39 в сообщении #1496938 писал(а):

Найти внутреннее поле этого куба на его оси.

На какой оси?

AnatolyBa в сообщении #1496781 писал(а):

Я разложил потенциал в окрестности центра куба в ряд по смещению от центра - до членов второго порядка.
Воспользовался симметрией, подставил в уравнение Пуассона и вуаля.

Вопросик по этому поводу: перекрестные производные $\varphi_{xy}, \varphi_{xz}, \varphi_{yz}$ вы положили равными нулю? Если да, то почему?

[drug39]

DimaM в сообщении #1497014 писал(а):

На какой оси?

Оси куба - это отрезки соединяющие центры противолежащих граней. Я вот эти имел ввиду. Самое простое, что можно придумать, по аналогии с эллипсоидом. Т.е. осей этих три, берите любую из них.