Доказательство иррациональности кв.корня из 2 у Фихтенгольца

[nnosipov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496522 писал(а):

Не верно

А тест-то пройден Тогда можно подумать над тем, как ужесточить требование "$a$ не делится на $c$" (т.е. заменить это условие более сильным условием) с тем, чтобы заключение "$b$ делится на $c$" стало верным.

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496519 писал(а):

Odysseus

Чтобы прояснить ситуацию, скажу, что я по профессии музыкант и к тому же пенсионер, математикой занимаюсь, потому что испытываю к этому внутреннюю потребность.

Боюсь, что злоупотребил Вашим (и не только Вашим) вниманием.

Aritaborian в сообщении #1496521 писал(а):

Vladimir Pliassov, вы ведь не тролль, просто честно блуждаете в трёх соснах и старательно пытаетесь разобраться. Советы не игнорируете, общаетесь вежливо. Вам не за что извиняться.

Присоединяюсь к Aritaborian. Вам совершенно не за что извиняться. Более того, вы достойный пример для подражания для многих. А все кто вам отвечают - рады это делать, зачем же еще бы они это делали? :)

Но если у вас не было достаточного опыта и систематического математического (или хотя бы технического) образования, то, наверное, вам еще рано самому придумывать доказательства и нужно сначала побольше поразбирать существующие. Особенно рекомендую начала теории чисел, начала алгебры и начала математического анализа. Именно доказательства (строгие и логические, пусть даже и простых фактов), а не просто формулы и преобразования. Последние, в целом, гораздо меньше отражают то, что математика из себя представляет и меньшему вас научат. А в новых понятиях, структурах и доказательствах вы будете находить много увлекательного и красивого. Вычисления и формулы потом будут записываться автоматически.

Возвращаясь к иррациональности корня из двух и его обобщения на другие числа. Доказательство из Фихтенгольца вы освоили. Далее, перед тем как придумывать новые доказательства и обобщения, я бы рекомендовал вам сначала подучить начала теории чисел. Учебников и руководств на эту тему есть много, например
Калужнин "Основная теорема арифметики"
Калужнин "Введение в общую алгебру" (здесь рекомендую и первые две главы по теории множеств и началам математической логики)
Сушкевич "Теория чисел. Элементарный курс"
Нестеренко "Теория чисел"

[wrest]

А я бы посоветовал книжку Пантаева, вместо Фихтенгольца.

Пантаев. Матанализ с человеческим лицом, или Как выжить после предельного перехода. Полный курс математического анализа. В 2 томах.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus

Благодарю Вас за добрые слова и за доброе, благожелательное отношение!

Советам Вашим обязательно последую, уже нашел все 4 книги.

-- 14.12.2020, 21:59 --

wrest в сообщении #1496545 писал(а):

А я бы посоветовал книжку Пантаева, вместо Фихтенгольца.

Пантаев. Матанализ с человеческим лицом, или Как выжить после предельного перехода. Полный курс математического анализа. В 2 томах.

Спасибо! Уже нашел, и название понравилось!

-- 14.12.2020, 22:41 --

nnosipov в сообщении #1496535 писал(а):

А тест-то пройден Тогда можно подумать над тем, как ужесточить требование "$a$ не делится на $c$" (т.е. заменить это условие более сильным условием) с тем, чтобы заключение "$b$ делится на $c$" стало верным.

Ура!

"$a$ не делится на $c$ и не имеет с ним общих делителей."

[Odysseus]

Я бы не рекомендовал отказываться от Фихтенгольца. Это отличный учебник для начинающих и там есть то, чего нет в Пантаеве, например строгое и очень красивое введение понятия вещественного числа. Пантаев может быть полезен как дополнительное пособие и когда что-то непонятно в Фихтенгольце.

Также как дополнительные пособия по мат анализу рекомендую
Зельдович, Яглом "Высшая математика для начинающих физиков и техников"
Хинчин "Восемь лекций по математическому анализу"

-- 14.12.2020, 11:51 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1496547 писал(а):

"$a$ не делится на $c$ и не имеет с ним общих делителей."

Верно, только в математике не принято допускать избыточность в формулировках. Зачем говорить "не делится", если потом говорится "не имеет с ним общих делителей"? Второе влечет первое (т.е. сильнее, чем первое), поэтому достаточно упоминать только его.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1496548 писал(а):

Я бы не рекомендовал отказываться от Фихтенгольца.

Конечно нет! Я, правда, читал, что этот учебник изобилует ошибками, в том числе есть и какая-то принципиальная ошибка, кажется, относительно дифференциалов (не берусь уточнить), я сам во втором же абзаце введения (в доказательстве, которым мы столько занимались) нашел одну неточность ("целое" вместо "натуральное"). Это мне не странно, я давно перестал верить в непогрешимость учебников, так что, когда читаю, постоянно готов к тому, что в тексте могут быть несоответствия, особенно, в современных публикациях. Вообще, по-моему, у математиков считается хорошим тоном писать с ошибками, что удивляет: и так ничего не понятно, а тут еще и ошибки!

Odysseus в сообщении #1496548 писал(а):

Также как дополнительные пособия по мат анализу рекомендую
Зельдович, Яглом "Высшая математика для начинающих физиков и техников"
Хинчин "Восемь лекций по математическому анализу"

Спасибо, обязательно попытаюсь освоить.

Odysseus в сообщении #1496548 писал(а):

в математике не принято допускать избыточность в формулировках. Зачем говорить "не делится", если потом говорится "не имеет с ним общих делителей"? Второе влечет первое (т.е. сильнее, чем первое), поэтому достаточно упоминать только его.

Спасибо, понятно.

Начал читать "Основную теорему арифметики" Калужнина, увлекательная книга.

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496554 писал(а):

Я, правда, читал, что этот учебник изобилует ошибками

Не верьте всему, что пишут.

Vladimir Pliassov в сообщении #1496554 писал(а):

я сам во втором же абзаце введения (в доказательстве, которым мы столько занимались) нашел одну неточность ("целое" вместо "натуральное").

Формально, никакой ошибки там не было, поскольку из ${(\frac pq)}^2=2$ следует только то, что $p$ целое, а не обязательно натуральное. Выбор потом корня числа только из неотрицательных чисел это наш произвольный выбор. Называть или не называть это "неточностью" - дело исключительно вкуса.

Vladimir Pliassov в сообщении #1496554 писал(а):

Вообще, по-моему, у математиков считается хорошим тоном писать с ошибками, что удивляет: и так ничего не понятно, а тут еще и ошибки!

Хорошим тоном это не считается, и большинство ошибок в учебниках не по вине математиков, а по вине наборщиков и редакции. Но никакой большой проблемы в этом нет:
- 99% опечаток легко заметны и не мешают чтению.
- находить опечатки полезно читающему (как минимум, не дает ему расслабиться).

А если что-то непонятно, изучите это же понятие или теорему в других книгах. В любом случае, опечатки не могут существенно повлиять на понимание или непонимание.

Vladimir Pliassov в сообщении #1496554 писал(а):

Начал читать "Основную теорему арифметики" Калужнина, увлекательная книга.

Очень правильный выбор. И после нее сможете при желании читать уже более глубокие и детальные учебники.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1496566 писал(а):

Формально, никакой ошибки там не было, поскольку из ${(\frac pq)}^2=2$ следует только то, что $p$ целое, а не обязательно натуральное.

То, что $p$ натуральное, стоит в условии:

Цитата:

нет такой рациональной дроби $\frac pq$ (где $p$ и $q$ натуральные числа), квадрат которой был бы равен $2$. (Фихтенгольц)

Но то, что оно целое, сказано не о $p$, а об $r$:

Цитата:

Так как $p^2=2q^2$, то $p$ есть число четное: $p=2r$ ($r \,\, -$ целое) и, следовательно, $q \,\, -$ нечетное. (Фихтенгольц)

Vladimir Pliassov в сообщении #1496391 писал(а):

(Непонятно, почему $r \,\, -$ целое, ведь $p=2r$ натуральное, значит $r$ не может быть отрицательным.)

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496568 писал(а):

То, что $p$ натуральное, стоит в условии:
нет такой рациональной дроби $\frac pq$ (где $p$ и $q$ натуральные числа), квадрат которой был бы равен $2$. (Фихтенгольц)

Это никак не противоречит тому, что в процессе вычислений можно рассматривать и отрицательные корни, и только в конце оставить из них положительный. Или даже оба корня можно оставить. Наличие отрицательного корня никак не будет противоречить утверждению о положительном корне.

Vladimir Pliassov в сообщении #1496568 писал(а):

Но то, что оно целое, сказано не о $p$, а об $r$:

А какое имеет значение было сказано это про $p$ или $r$? В отношении целый/натуральный никакой разницы между $p$ и $r$ нет.

Вы излишне зацикливаетесь на точных цитатах и обозначениях из учебника, это смещает ваш фокус не в ту сторону. Нужно стараться смотреть в суть и понимать ситуацию глубже.