Доказательство иррациональности кв.корня из 2 у Фихтенгольца

[Aritaborian]

Нельзя ли просто сказать: "$2q^2$ является чётным для любого $q \in \mathbb{Z}$"?

[Vladimir Pliassov]

wrest в сообщении #1496061 писал(а):

"Для любого целого $q$, число $2q^2$ является четным".
Тут ещё надо не забыть что нуль - чётное целое число.

Aritaborian в сообщении #1496062 писал(а):

Нельзя ли просто сказать: "$2q^2$ является чётным для любого $q \in \mathbb{Z}$"?

Ну вот, дело немножко сдвинулось!

[Vladimir Pliassov]

nnosipov в сообщении #1495927 писал(а):

Докажите, что число $\log_2{3}$ иррационально.

Спасибо!

Я нашел решение здесь https://otvet.mail.ru/question/173545721 , привожу его практически без изменений, но пропущенным через свою голову.

Допустим, что $\log_2{3}$ не является иррациональным, то есть является рациональным и поэтому может быть представлен в виде дроби $m/n$, где $m$ - целое число, $n$ - натуральное число.

$\log_2{3} = m/n$.

${2^\log_2{3}}= 2^{m/n}$

Отсюда

$3 = 2^{m/n}$

$3^n = 2^m$

$m$ не может быть отрицательным и $0$, так как $n > 0$ и $3^n < 1$.

В левой части равенства нечетное число, в правой четное, равенства быть не может.

Значит, предположение о том, что $\log_2{3}$ не является иррациональным не верно.

Следовательно, $\log_2{3}$ иррациональное число.

[Odysseus]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496060 писал(а):

Под "$2q^2$ само по себе" я имел в виду "не в составе равенства $p^2=2q^2$" (потому что, когда $2q^2$ находится в составе этого равенства, вопрос о четности $q$ усложняется).

Вопрос о четности $q$ в последнем случае не усложняется, а наоборот упрощается. Если $p^2=2q^2$, то $q$ может быть только четным.

И зачем вам $2q^2$ "само по себе" вне этого равенства? Что вы с ним будете делать?

Vladimir Pliassov в сообщении #1496064 писал(а):

Aritaborian в сообщении #1496062 писал(а):

Нельзя ли просто сказать: "$2q^2$ является чётным для любого $q \in \mathbb{Z}$"?

Ну вот, дело немножко сдвинулось!

А куда вы при этом продвинулись? То, что $2q^2$ это всегда четное число было же очевидно с самого начала.

Odysseus в сообщении #1496032 писал(а):

1) Если сначала исходить из того, что $\frac pq$ это несократимая дробь, а потом уже рассмотреть $p^2=2q^2$, то сначала очевидным образом выясняется, что $p$ это четное и поэтому $q$ должно быть нечетным (иначе $\frac pq$ не была бы несократима). А потом, подумав еще немного, выясняется, что при условии $p^2=2q^2$ число $q$ не может быть нечетным. Вот здесь появляется противоречие, которое и доказывает, что нужной дроби $\frac pq$ не существует.

2) НО когда вы рассматриваете равенство $p^2=2q^2$ без условия того, что дробь $\frac pq$ несократима (как у вас было выше при попытке "найти доказательство, в котором хоть что-то бы отличалось"), то никаких очевидных условий на $q$ сначала не обнаруживается. И подумав немного, вы можете сказать только то, что $q$ это четное. В данном случае ваше предположение "$q$ может быть нечетным", когда вы в первый раз посмотрели на $p^2=2q^2$, было необоснованным, поэтому ни к какому противоречию оно не приводит.

Это вы зря пропустили. Вы продолжаете путаться в связанной с этим логике и сдвигаетесь куда-то не туда.

Odysseus в сообщении #1496005 писал(а):

Как вас уже подводили к этому Mikhail_K и wrest, рассмотрите общий случай $p^N=nq^N$ где все числа натуральные и подумайте как доказать, что такое может быть только когда $n$ это $N$-я степень натурального числа. Доказательство не сложнее, чем для $n=2, N=2$, просто нужно знать один простой факт из теории чисел. Думаю вы его знаете, так что сможете все доказать очень просто (а если не знаете, то будет повод его узнать и заодно увидеть, где он применяется, а значит и его тоже лучше понять). Так вы все поймете намного лучше, чем если будете продолжать мусолить доказательство для $\sqrt{2}$, переставлять в нем слова и т.д.

И это тоже пропустили зря. Если бы вы подумали над этим, то смогли бы увидеть более общий и концептуальный (и при этом никак не более сложный) способ доказательства всех подобных иррациональностей: как $\sqrt[2]{2}$, так и $\sqrt[N]{n}$ для всех таких натуральных $n$ и $N$, когда $n$ это не $N$-я степень натурального числ. Тогда все стало бы намного понятнее.

Рекомендую вам самому попробовать догадаться о каком необходимом для доказательства факте из теории чисел идет речь, но если захотите - можете посмотреть в оффтопе.

(Оффтоп)

Единственность разложения натуральных чисел на простые множители.

[nnosipov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496079 писал(а):

Я нашел решение здесь

Да, это верное решение. Но зря Вы лишили себя удовольствия самостоятельно придумать это решение.

-- Сб дек 12, 2020 00:24:52 --

Odysseus в сообщении #1496080 писал(а):

Рекомендую вам самому попробовать догадаться о каком необходимом для доказательства факте из теории чисел идет речь

Кстати, не обязательно именно этим фактом пользоваться (ибо сам факт довольно нетривиально доказывается), можно предложить и что-нибудь попроще.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1496080 писал(а):

Это вы зря пропустили.

Я не пропустил, просто, так сказать, руки до всего не доходят, и к тому же одержим идеей найти доказательство, что с одной стороны -- не строго говоря, -- $q$ и четно, и нечетно, а с другой только четно, и это забирает почти все время и силы. Но сейчас как раз работаю над Вашей рекомендацией:

Odysseus в сообщении #1496005 писал(а):

рассмотрите общий случай $p^N=nq^N$ где все числа натуральные и подумайте как доказать, что такое может быть только когда $n$ это $N$-я степень натурального числа.

и думаю, в частности: какой факт? Пытаюсь найти без оффтопа.

-- 11.12.2020, 20:52 --

nnosipov в сообщении #1496081 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1496079 писал(а):

Я нашел решение здесь

Да, это верное решение. Но зря Вы лишили себя удовольствия самостоятельно придумать это решение.

Спасибо! Мне надо было получить представление, о чем идет речь, но теперь я его имею (в какой-то степени).

nnosipov в сообщении #1496081 писал(а):

Odysseus в сообщении #1496080 писал(а):

Рекомендую вам самому попробовать догадаться о каком необходимом для доказательства факте из теории чисел идет речь

Кстати, не обязательно именно этим фактом пользоваться (ибо сам факт довольно нетривиально доказывается), можно предложить и что-нибудь попроще.

Какой-то таинственный - для меня - факт! Пытаюсь его открыть.

А что попроще?

[Odysseus]

nnosipov в сообщении #1496081 писал(а):

Кстати, не обязательно именно этим фактом пользоваться (ибо сам факт довольно нетривиально доказывается), можно предложить и что-нибудь попроще.

Ну можно вместо "факта X" пользоваться некоей известной "леммой Y" (которую можно использовать и для доказательства самого "факта X"), но
1) ИМХО зная "лемму Y", "факт X" доказывается уже достаточно тривиально, т.е. это фактически равноценные утверждения.
2) Если при анализе равенства $p^N=nq^N$ использовать "факт X", то мне кажется будет понятнее, что здесь вообще происходит. Иначе же, с использованием только "леммы Y", доказательство будет чуть более запутанным и не таким ясным, может оставаться впечатление некоторого трюка.
3) "Факт X" и его доказательство необходимо знать в любом случае, а здесь заодно бесплатно получаешь полезный пример его применения, т.е. хороший повод понять для каких случаев он бывает полезен.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1496080 писал(а):

Рекомендую вам самому попробовать догадаться о каком необходимом для доказательства факте из теории чисел идет речь

Так это

Цитата:

для любого натурального числа $n>2$ уравнение:

$$a^n+b^n=c^n$$

не имеет решений в целых ненулевых числах $a,b,c$! (Википедия)

А я-то думал, что мне надо его найти и еще доказать!

[Aritaborian]

Vladimir Pliassov, это вы так шутите?

[Vladimir Pliassov]

Нет, я правда думал, что раз надо что-то найти, то тогда уже и доказать.

[Odysseus]

Увы, с помощью великой теоремы Ферма вы сможете доказать иррациональность $\sqrt[N]{2}$ только для $N>2$. "К сожалению, великая теорема Ферма - недостаточно мощный инструмент для того, чтобы доказать, что квадратный корень из 2 иррационален, и для этого нужно использовать другие методы."

Но вы в самом деле несколько удивляете... Вы серьезно подумали, что речь шла о ней, и что до ее доказательства люди не знали как доказывать иррациональность $\sqrt[N]{n}$ для случаев когда $n$ это не $N$-я степень натурального числа? И было похоже, что выше речь шла о сложности доказательства этой теоремы?

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1496005 писал(а):

рассмотрите общий случай $p^N=nq^N$ где все числа натуральные и подумайте как доказать, что такое может быть только когда $n$ это $N$-я степень натурального числа.

Если я правильно понимаю, $n$ можно представить как $a^N$, где $a$ натуральное число. Тогда $p^N=a^Nq^N$.

Вы это имели в виду?

[Odysseus]

Прочитайте внимательнее и сформулируйте что именно нужно доказать.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1496089 писал(а):

как доказывать иррациональность $\sqrt[N]{n}$ для случаев когда $n$ это не $N$-я степень натурального числа?

Так "$N$-я степень натурального числа" или "не $N$-я степень натурального числа"?

Спрашиваю, потому что здесь

Odysseus в сообщении #1496005 писал(а):

рассмотрите общий случай $p^N=nq^N$ где все числа натуральные и подумайте как доказать, что такое может быть только когда $n$ это $N$-я степень натурального числа

Вы пишете "$N$-я степень натурального числа."

Odysseus в сообщении #1496089 писал(а):

Увы, с помощью великой теоремы Ферма вы сможете доказать иррациональность $\sqrt[N]{2}$ только для $N>2$.

Может быть, Вы имели в виду $N<2$?

[Aritaborian]

Нет, всё так.