Доказательство иррациональности кв.корня из 2 у Фихтенгольца

[Vladimir Pliassov]

Odysseus в сообщении #1496397 писал(а):

вы продолжаете настаивать, что фраза

Vladimir Pliassov в сообщении #1496391 писал(а):

Не само по себе, а вместе с условием

$$n=\frac {u}{v}\cdot \frac {u}{v}.$$

При этом условии, вместе с условием, что $u,v$ взаимно просты, $n$ не может быть натуральным числом.

без каких-либо дополнительных исследований/пояснений является доказательством чего-либо. Вы разве не видите, что в случае $n=2$, как я уже писал выше, это все равно, что в доказательстве из Фихтенгольца остановиться на этапе

Vladimir Pliassov в сообщении #1496391 писал(а):

Для доказательства этого допустим противное: пусть существует такая дробь $\frac pq$, что ${(\frac pq)}^2=2$. Мы вправе считать эту дробь несократимой, т.е. $p$ и $q$ лишенными общих множителей.

Нет, это не все равно, что в доказательстве из Фихтенгольца остановиться на указанном Вами этапе, потому что у меня еще дописано "$n$ не может быть натуральным числом."

Если бы у Фихтенгольца было дописано "поэтому $2$ не является натуральным числом" с прибавлением "что противоречит факту, что $2$ таковым является," -- то ему не нужно было бы продолжать доказательство, поскольку оно было бы уже завершено (то есть это было бы другое доказательство, без привлечения четности-нечетности).

Так и я могу добавить "что не соответствует условию, что $n$ натуральное число."

Я этого не добавил в цитируемом сообщении, потому что излагал не полное доказательство, а его фрагмент.

Другое дело, что доказательства могли бы быть более подробными, то есть можно было бы доказывать еще, что несократимая дробь не может быть равна натуральному числу, если необходимо это доказывать.

[mihaild]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496474 писал(а):

можно было бы доказывать еще, что несократимая дробь не может быть равна натуральному числу, если необходимо это доказывать

Это доказать не получится, потому что это неправда.

В любом случае, в доказательстве должен быть ясно виден переход, который ломается, если заменить $2$ на $4$ (т.к. из $4$ корень извлекается). В вашем рассуждении такого не видно.

[wrest]

Произведение двух дробей (нецелых и несократимых) вполне может быть натуральным числом, например $\frac37 \frac73 =1$
Ну и формально, знаменателю несократимой дроби ничто не мешает быть равным единице, поэтому если вы стремитесь к терминологической чистоте, надо тогда учитывать всякое.

[Vladimir Pliassov]

mihaild в сообщении #1496476 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1496474 писал(а):

можно было бы доказывать еще, что несократимая дробь не может быть равна натуральному числу, если необходимо это доказывать

Это доказать не получится, потому что это неправда.

Как неправда? Можете доказать, что это неправда?

wrest в сообщении #1496478 писал(а):

Произведение двух дробей (нецелых и несократимых) вполне может быть натуральным числом, например $\frac37 \frac73 =1$

Я же не сказал: "произведение несократимых дробей," я сказал: "несократимая дробь".

Разве возможно, чтобы несократимая дробь вообще, и, в частности, например,

$$\frac {u'}{v'}=\frac {u}{v}\cdot \frac {u}{v},$$

была равна натуральному числу?

[wrest]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496487 писал(а):

Разве возможно, чтобы несократимая дробь вообще, и, в частности, например,

$$\frac {u'}{v'}=\frac {u}{v}\cdot \frac {u}{v},$$

была равна натуральному числу?

Формально, при $v=1$, возможно. Просто по определению несократимой дроби. Натуральные числа являются подмножеством множества рациональных чисел, что тут удивительного?

[Vladimir Pliassov]

wrest в сообщении #1496478 писал(а):

Ну и формально, знаменателю несократимой дроби ничто не мешает быть равным единице, поэтому если вы стремитесь к терминологической чистоте, надо тогда учитывать всякое.

Цитата:

Основная теорема арифметики устанавливает центральную роль простых чисел в теории чисел: любое целое число, большее $1$, либо является простым, либо может быть выражено как произведение простых чисел, причём это выражение единственно с точностью до порядка сомножителей. Именно чтобы обеспечить единственность в этой теореме, единица не считается простым числом (иначе можно включать произвольно много единиц в любое разложение[2], например, $3=1\cdot 3=1\cdot 1\cdot 3$ и так далее). (Википедия)

Может быть, это имеет отношение к вопросу?

-- 14.12.2020, 15:58 --

mihaild в сообщении #1496476 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1496474 писал(а):

несократимая дробь не может быть равна натуральному числу

Это доказать не получится, потому что это неправда.

Цитата:

Для целого числа n представлением в виде несократимой дроби является

$$n=\frac {n}{1}$$

(Википедия)

Вы это имеете в виду?

[nnosipov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496492 писал(а):

Может быть, это имеет отношение к вопросу?

Нет, не имеет. Это о другом.

Вообще, идея сократить на наибольший общий делитель очень правильная, она не требует обращения ни к каким простым числам. Если есть равенство $n=(p/q)^2$, то, записав $p=dp_1$, $q=dq_1$, где $d=\gcd{(p,q)$, получим $n=(p_1/q_1)^2$. Чем это равенство лучше исходного? Тем, что мы теперь знаем, что числа $p_1$ и $q_1$ взаимно просты. Осталось доказать, что $q_1=1$. Это не очевидно само по себе. Но легко вытекает из свойств взаимно простых чисел.

[wrest]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496492 писал(а):

Может быть, это имеет отношение к вопросу?

Основная теорема арифметики имеет непосредственное отношение к вопросу темы, но не к обсуждаемому вопросу "что такое несократимые дроби."

Vladimir Pliassov в сообщении #1496492 писал(а):

Вы это имеете в виду?

Да. Потому что, ещё раз, вы за чистоту терминологии :)

[Vladimir Pliassov]

nnosipov в сообщении #1496499 писал(а):

Осталось доказать, что $q_1=1$.

Вы имеете в виду какой-то особый случай? Ведь знаменатель несократимой дроби не всегда равен единице.

-- 14.12.2020, 17:04 --

wrest в сообщении #1496502 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1496492 писал(а):

Вы это имеете в виду?

Да.

Спасибо за помощь! Вы меня убедили. Теперь надо пересмотреть доказательство: для всех случаев, кроме случая с единицей в знаменателе.

[Odysseus]

Vladimir Pliassov
Я пока не буду комментировать далее ваше доказательство, но задам несколько вопросов:

1. Вы изучаете Фихтенгольца для себе без каких-то временных ограничений или это часть учебного процесса? Просто это самая первая страница и первое доказательство в нем. Если вы никуда не торопитесь, вам просто интересно в этом разбираться и вы готовы тратить неограниченное количество времени на доказательство каждого утверждения - ок. Но если у вас есть какие-то учебные планы и сроки, то учитывайте, что дальше будет очень много других понятий и теорем (включая значительно более сложные), и столько времени останавливаться на каждом у вас не получится.

2. Вы что-то учили из теории чисел? Если да, то какие утверждения помните? Можете доказать их самостоятельно не подглядывая в учебники?

3. Как у вас в целом с доказательствами других математических теорем?

[nnosipov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496504 писал(а):

Ведь знаменатель несократимой дроби не всегда равен единице.

Разумеется. Но у нас-то несократимая дробь $p_1/q_1$ волшебная: для нее верно равенство $n=(p_1/q_1)^2$, где $n$ --- некоторое натуральное число. Вот у такой дроби знаменатель $q_1$ просто обязан быть равен единице. Вот и докажите это (я хотел сказать, попробуйте это доказать).

Контрольный тест (на интуицию в вопросах делимости целых чисел): если про три числа $a$, $b$, $c$ известно, что $ab$ делится на $c$, но при этом $a$ не делится на $c$, верно ли утверждать, что $b$ делится на $c$? Если тест провалите, то с доказательствами такого рода утверждений лучше повременить.

[Vladimir Pliassov]

Odysseus

Чтобы прояснить ситуацию, скажу, что я по профессии музыкант и к тому же пенсионер, математикой занимаюсь, потому что испытываю к этому внутреннюю потребность.

Боюсь, что злоупотребил Вашим (и не только Вашим) вниманием.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Vladimir Pliassov в сообщении #1496519 писал(а):

Боюсь, что злоупотребил Вашим (и не только Вашим) вниманием.

Vladimir Pliassov, вы ведь не тролль, просто честно блуждаете в трёх соснах и старательно пытаетесь разобраться. Советы не игнорируете, общаетесь вежливо. Вам не за что извиняться.

[Vladimir Pliassov]

Спасибо!

Aritaborian в сообщении #1496521 писал(а):

честно блуждаете в трёх соснах

:)

-- 14.12.2020, 19:35 --

nnosipov в сообщении #1496516 писал(а):

Контрольный тест (на интуицию в вопросах делимости целых чисел): если про три числа $a$, $b$, $c$ известно, что $ab$ делится на $c$, но при этом $a$ не делится на $c$, верно ли утверждать, что $b$ делится на $c$? Если тест провалите, то с доказательствами такого рода утверждений лучше повременить.

Не верно, потому что, например, пусть $a=a_1a_2, \,\, b=b_1b_2, \,\, c=a_2b_1$ и при этом $b_2$ не делится на $a_2$, то есть $b$ не делится на $c$. Тогда, тем не менее,

$$ab=a_1a_2b_1b_2=a_1(a_2b_1)b_2=a_1cb_2.$$

[wrest]

Vladimir Pliassov в сообщении #1496522 писал(а):

Не верно, потому что,

Тут бы и контрпример бы привести :) То есть типа при $a,b,c$ таких то $b$ таки НЕ делится на $c$
Ну типа $a=2,b=24,c=16$
И сразу видно.