Разложение тригонометрической функции в ряд Лорана

[Romashka124]

Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста, разложить функцию в ряд Лорана
Разложить в ряд Лорана функцию $f(z)=\sin(z) \sin(\frac{1}{z})$ по степеням $z-z_{0}$, где $z_{0}=0$.
Воспользовался формулой произведения синусов $\sin(a) \sin(b) =0.5(\cos(a-b)-\cos(a+b))$. Потом воспользовался разложением косинуса в ряд Тейлора, в результате получил $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n ((z^2-1)^{2n} - (z^2+1)^{2n}) }{ z^{2n}(2n)! }$.
А что дальше с этим делать? Как привести к правильному виду ряда Лорана?

Непосредственным умножением рядов удалось свести к вот такому виду:
$\sum\limits_{m=0}^{\infty}\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-z^2)^{m-n}}{(2m+1)!(2n+1)!}$
Теперь не понятно, как (и можно ли вообще) вытащить $(-z^2)^{m-n}$ за знак первой суммы (думаю насчет замены переменной суммирования, например $k=m-n$, но можно ли так делать? Это же получается перестановка членов ряда достаточно серьезная.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- имеющуюся попытку решения задачи затруднительно счесть содержательной.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[nnosipov]

Romashka124 в сообщении #1496350 писал(а):

но можно ли так делать? Это же получается перестановка членов ряда достаточно серьезная.

Можно. Но получить ответ в простом замкнутом виде вряд ли получится: уже один только коэффициент $c_0$ ряда Лорана для $\sin{z}\sin{z^{-1}}$ выражается через значения спецфункций. Так что коэффициенты $c_k$ будут записаны только в виде (числовых) рядов. Иными словами, для решения задачи придется честно перемножить два ряда: для $\sin{z}$ и $\sin{z^{-1}}$.

[vpb]

Romashka124 в сообщении #1496350 писал(а):

но можно ли так делать? Это же получается перестановка членов ряда достаточно серьезная.

Можно. А помните ли, в силу каких теорем это действие законно ?

[Romashka124]

vpb в сообщении #1496430 писал(а):

Можно. А помните ли, в силу каких теорем это действие законно ?

У нас функциональный ряд. Он должен сходиться абсолютно, тогда при любой перестановке его членов, он не станет расходящимся и его сумма не изменится.

-- 14.12.2020, 11:39 --

nnosipov

Нашел свой пример, там в целом изначально получается тоже самое, как у меня, но потом не понятным образом вводится суммирование по $k$ и появляется какая-то $\delta$.
Я не знаю, можно ли сюда прикрепить ссылку из источника? Это иностранный источник.

[nnosipov]

Romashka124 в сообщении #1496436 писал(а):

Я не знаю, можно ли сюда прикрепить ссылку из источника? Это иностранный источник.

Конечно, ссылку можно дать, желательно с указанием страницы.

[Romashka124]

nnosipov

https://math.stackexchange.com/question ... n-z-sin1-z

-- 14.12.2020, 11:46 --

Я так подумал, может под $\delta$ понимается дельта-функция, но что за индексы тогда у неё указаны, непонятно..

[StaticZero]

Romashka124 в сообщении #1496443 писал(а):

под $\delta$ понимается дельта-функция, но что за индексы тогда у неё указаны

(Оффтоп)

Это её дальние родственники, а поскольку их очень много, то понадобилось аж целых два индекса, чтобы их отличать

Это кронекеровский символ.

[nnosipov]

Romashka124
Там выписан ответ (т.е. в виде какого ряда можно задать произвольный коэффициент $c_k$), вот к нему и стремитесь. А эти дельты просто игнорируйте.

[Romashka124]

StaticZero в сообщении #1496447 писал(а):

Это кронекеровский символ.

А что по факту с этим делать?:) Я что-то вообще не понимаю...

[nnosipov]

Romashka124 в сообщении #1496517 писал(а):

Я что-то вообще не понимаю...

Вы когда-нибудь ряд на ряд умножали? Всего-то и делов: раскрыть скобки и привести подобные.

[Romashka124]

nnosipov в сообщении #1496518 писал(а):

Вы когда-нибудь ряд на ряд умножали? Всего-то и делов: раскрыть скобки и привести подобные.

Решил!!!! В общем сходится к тому результату, что выше писал (как в ссылке).

[Otta]

Romashka124
А можно узнать, какой в этом был практический смысл? Если особенно Вы не знаете (ну не рассказывали Вам), что такое функция Бесселя - то никакого.
Да даже если и рассказывали - то никакого. Ну на мой взгляд.

А если надо было со спецфункциями потренироваться - то конечно.

[Romashka124]

Otta в сообщении #1496529 писал(а):

что такое функция Бесселя

Мне уже теперь стало интересно что это и как конкретно это можно было приложить к конкретно этому примеру, не подскажете где можно почитать? Чтобы для среднего уровня.