Площадь поверхности как производная объема

[Mihr]

geomath в сообщении #1496235 писал(а):

Размерности у скорости и ускорения не те.

Почему не те? Здесь ведь речь не о скорости протекания какого-то процесса во времени. Речь совсем о другом: об "отклике" объёма шара на изменение его радиуса. С размерностью как раз всё в порядке.

[geomath]

Все равно нехорошо. Периметр и поверхность наблюдаемы непосредственно, их можно померить, не зная ни про какое число пи. А ваше "ускорение" имеет размерность длины, всего лишь пропорциональной радиусу. И какую линейку или загогулину надо взять, чтобы это померить, я не знаю. Уж скорее это восемь меридианов, и то нагляднее.

[Mihr]

geomath, в математике (да и в физике) есть много "не наглядных" понятий. Здесь ничего не поделать. Не нравится Вам моя трактовка - придумайте свою. Хотя Вы уже придумали: "восемь меридианов". Но мне это кажется куда более искусственным, чем ускорение. При чём здесь меридианы, и почему их должно быть именно восемь?
(И, кстати, обычное, "физическое" ускорение тоже линейкой не измерить. Тем не менее, я не слышал, чтобы кто-нибудь жаловался на его "не наглядность".)

[geomath]

Насчет "линейки" сразу в голову приходит "акселерометр", в смартфоне используется.

[alisa-lebovski]

Площадь сферы равна учетверенной площади круга (экваториального).
Соответственно, ее производная равна учетверенной длине окружности (экватора).

[StaticZero]

alisa-lebovski, если мы будем дифференцировать куб, приняв "радиус" куба за $a/2$, то получается $\mathrm dS/\mathrm dR = 4 \cdot 6a$. Что у нас в кубе, подобное большому кругу, будет иметь длину $6a$?

[alisa-lebovski]

StaticZero, во-первых, Вы неправильно считаете. Во-вторых, как раз в кубе понятно как раскидать новую образовавшуюся площадь при увеличении его линейных размеров - вдоль ребер. $(6a^2)'=12a$ - это сумма длин ребер куба (периметр, если так говорят для куба).

[arseniiv]

geomath
Мне вот лично всё наглядно. А можно ещё сделать, чтобы радиус шара был пропорционален прошедшему времени, и тогда производные по радиусу будут уже в точности пропорциональны скорости и ускорению, всё лишь поделить на какую-то постоянную скорость. Совершенно ничего, требующего каких-то неординарных умений визуализации.

[geomath]

arseniiv
Ладно, пусть длина - это условное время, а объем - это условная длина. Тогда с размерностью всё в порядке: площадь - это условная скорость в кубических метрах за метры, а длина - условное ускорение в кубических метрах за квадратные метры. И мерить это условное ускорение будем штангенциркулем с 4пи-кратным увеличением. Хорошо.

[arseniiv]

geomath в сообщении #1496403 писал(а):

а объем - это условная длина

Ну вообще я предлагал не это, но раз у вас всё равно сошлось, то ладно.