2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Наиболее быстро попасть из А в В.
Сообщение11.12.2020, 08:52 


29/11/20
16
Добрый день. Не могу разобраться с задачей.
Ось Ox представляет собой плоскую границу двух сред. Тело в среде 1 может двигаться со скоростью $\vec{v_1}$, в среде 2 - $\vec{v_2}$ $({v_1},{v_2}<<c)$. Как наиболее быстро попасть из точки $A(0,0)$ в точку $B(b,a)$?
Я не понимаю, с чего можно начать решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наиболее быстро попасть из А в В.
Сообщение11.12.2020, 09:01 


27/08/16
11742
Начать нужно с рассмотрения случая, когда у вас только одна среда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наиболее быстро попасть из А в В.
Сообщение11.12.2020, 09:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10392
А какая из скоростей больше и в какой из сред находится точка $B$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наиболее быстро попасть из А в В.
Сообщение11.12.2020, 09:10 


29/11/20
16
Dan B-Yallay в сообщении #1495991 писал(а):
А какая из скоростей больше и в какой из сред находится точка $B$?

Это не указано в условии, но можно предположить что точка B находится в среде 1, а вот для скоростей нужно рассматривать два случая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наиболее быстро попасть из А в В.
Сообщение11.12.2020, 09:11 


27/08/16
11742
Dan B-Yallay в сообщении #1495991 писал(а):
А какая из скоростей больше и в какой из сред находится точка $B$?
Это как два варианта перебрать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наиболее быстро попасть из А в В.
Сообщение11.12.2020, 09:13 


29/11/20
16
realeugene в сообщении #1495990 писал(а):
Начать нужно с рассмотрения случая, когда у вас только одна среда.

Тогда перемещаться нужно просто по прямой от А к В?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наиболее быстро попасть из А в В.
Сообщение11.12.2020, 09:14 


27/08/16
11742
Jaxel в сообщении #1495994 писал(а):
Тогда перемещаться нужно просто по прямой от А к В?
Попробуйте это доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наиболее быстро попасть из А в В.
Сообщение11.12.2020, 09:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12999
Dan B-Yallay, realeugene
Какая-то избыточная реакция на попрошайку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наиболее быстро попасть из А в В.
Сообщение11.12.2020, 09:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10392
Утундрий
Если бы точки были в разных средах, то я бы не стал вообще смотреть.
Но $ A$ лежит на стыке, поэтому существует ли быстрейший путь? Я не помню.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наиболее быстро попасть из А в В.
Сообщение11.12.2020, 09:39 


29/11/20
16
realeugene в сообщении #1495995 писал(а):
Jaxel в сообщении #1495994 писал(а):
Тогда перемещаться нужно просто по прямой от А к В?
Попробуйте это доказать.

Если $s$ - длина пройденного пути, то $s=vt, t=\frac{s}{v}$, значит чем меньше длина - тем меньше и время. Минимальная длина - длина отрезка $AB$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наиболее быстро попасть из А в В.
Сообщение11.12.2020, 09:40 


27/08/16
11742
Dan B-Yallay в сообщении #1495997 писал(а):
Но $ A$ лежит на стыке, поэтому существует ли быстрейший путь?
Существует предел. И даже если начало не на стыке, кратчайший путь может существовать только в пределе.

-- 11.12.2020, 09:41 --

Jaxel в сообщении #1495998 писал(а):
Минимальная длина - длина отрезка $AB$.

Попробуйте это доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наиболее быстро попасть из А в В.
Сообщение11.12.2020, 09:51 


05/09/16
12445
Jaxel в сообщении #1495989 писал(а):
Я не понимаю, с чего можно начать решение.

Мне кажется, что с того, что по самой границе раздела скорость можно принять равной бОльшей из двух данных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наиболее быстро попасть из А в В.
Сообщение11.12.2020, 09:53 


27/08/16
11742
wrest в сообщении #1496000 писал(а):
Мне кажется, что с того, что по самой границе раздела скорость можно принять равной бОльшей из двух данных.
В ПРР(Ф) запрещено выкладывать готовые решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наиболее быстро попасть из А в В.
Сообщение11.12.2020, 09:55 


05/09/16
12445
Jaxel в сообщении #1495989 писал(а):
Тело в среде 1 может двигаться со скоростью $\vec{v_1}$, в среде 2 - $\vec{v_2}$ $({v_1},{v_2}<<c)$.

А что значат стрелочки над скоростями?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наиболее быстро попасть из А в В.
Сообщение11.12.2020, 10:06 


29/11/20
16
realeugene в сообщении #1495999 писал(а):
Dan B-Yallay в сообщении #1495997 писал(а):
Но $ A$ лежит на стыке, поэтому существует ли быстрейший путь?
Существует предел. И даже если начало не на стыке, кратчайший путь может существовать только в пределе.

-- 11.12.2020, 09:41 --

Jaxel в сообщении #1495998 писал(а):
Минимальная длина - длина отрезка $AB$.

Попробуйте это доказать.


Если $y=y(x)$ - уравнение кривой, соединяющей A и B (т.е. в нашем случае $y(0)=0, y(b)=a$), то нужно найти функцию $y(x)$, которая доставляет минимум функционалу длины $$L(x,y,y')=\int\limits_{0}^{b} \sqrt{1+(y'(x))^2}dx$$

Мне нужно время на то, чтобы вспомнить как искать экстремальные значения функционала. Но нужно ли мне сейчас это делать? А то задача уже уйдет совсем в другую тему.

UPD. Задача сводится к уравнению $y''=0$, т.е. $y(x)=c_1x+c_2$, константы определяются из условий выше.

-- 11.12.2020, 10:06 --

wrest в сообщении #1496002 писал(а):
Jaxel в сообщении #1495989 писал(а):
Тело в среде 1 может двигаться со скоростью $\vec{v_1}$, в среде 2 - $\vec{v_2}$ $({v_1},{v_2}<<c)$.

А что значат стрелочки над скоростями?


Вектора.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: _pv


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group