Компактификации R^n

[Padawan]

Компактификацией топологического пространства $X$ называется пара $(Y,c)$, где $Y$ -- компактное хаусдорфово пространство, $c\colon X\to Y$ -- гомеоморфное вложение $X$ в $Y$ (т.е. $c$ есть гомеоморфизм между $X$ и $c(X)$), причем $c(X)$ всюду плотно в $Y$.

Проще говоря, компактификация пространства $X$ -- это такой компакт $Y$, который содержит в себе $X$ в качестве всюду плотного подпространства.

Наростом компактификации $(Y,c)$ называется множество $Y\setminus c(X)$.

Задача. Докажите, что у числовой прямой $\mathbb R$ есть только две компактификации с конечным наростом (те самые -- одноточечная и двухточечная), а у $\mathbb R^n$ при $n\geqslant 2$ -- только одна компактификация с конечным наростом (одноточечная).

[Someone]

Это на какой же олимпиаде такую задачу дали?
Что-то никто эту задачу решать не хочет.

Я не буду детально выписывать решение, но ничего сложного там нет.
Будем рассматривать $\mathbb R^n$ с $n\geqslant 2$, рассматривая его как множество всевозможных упорядоченных $n$-ок $\mathbf r=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ действительных чисел, снабжённое стандартной алгебраической структурой и стандартной евклидовой метрикой. Компоненты $n$-ки называются её координатами, началом координат называется нулевая $n$-ка $\mathbf 0=(0,0,\ldots,0)$. Для положительного действительного числа $\rho$ символом $B_{\rho}$ будем обозначать открытый шар радиуса $\rho$ с центром в начале координат, $S_{\rho}$ — сферу радиуса $\rho$ с центром в начале координат.
Кроме того, для каждого шара $B_{\rho}$ и каждой точки $\mathbf r_0\in B_{\rho}$ обозначим $\tau_{\rho,\mathbf r_0}$ какую-нибудь ретракцию множества $\mathbb R^n\setminus\{\mathbf r_0\}$ на множество $\mathbb R^n\setminus B_{\rho}$. (Ретракцией топологического пространства $X$ на его подмножество $A$ называется такое непрерывное отображение $\varphi\colon X\to A$, что $\varphi|_A$ является тождественным отображением, то есть, для каждой точки $x\in A$ выполняется равенство $\varphi x=x$.)
Конкретный пример такой ретракции можно получить, определив её как центральную проекцию из точки $\mathbf r_0$ множества $B_{\rho}\setminus\{\mathbf r_0\}$ на сферу $S_{\rho}$, продолженную вне шара тождественным отображением.
Мы докажем, что нарост любой компактификации пространства $\mathbb R^n$ связен.
Достаточно рассмотреть только компактификацию Стоуна–Чеха, поскольку любая другая хаусдорфова компактификация является образом компактификации Стоуна–Чеха при непрерывном отображении, оставляющем точки компактифицируемого пространства неподвижными, а непрерывный образ связного множества связен. Но никакие специфические свойства компактификации Стоуна–Чеха в доказательстве не нужны, поэтому можно рассматривать сразу произвольную компактификацию.
В одномерном случае годится аналогичное рассуждение с небольшими отличиями: доказывается, что нарост полупрямой $[0,+\infty)$ (или $(-\infty,0]$) связен, все точки выбираются только на соответствующей полупрямой, и не понадобится ретракция.
Для упрощения выражений удобно отождествить пространство с его образом в компактификации, то есть, в обозначениях из первого сообщения, считать, что $X$ и $c(X)$ — одно и то же множество, а вложение $c$ является тождественным.

Рассмотрим произвольную хаусдорфову компактификацию $v\mathbb R^n$ пространства $\mathbb R^n$, $n\geqslant 1$, и пусть $^*\mathbb R^n=v\mathbb R^n\setminus\mathbb R^n$ — нарост.
Так как пространство $\mathbb R^n$ локально компактно, оно является открытым подмножеством в любой своей хаусдорфовой компактификации, а нарост, таким образом, является замкнутым и нигде не плотным.
Предположим, что нарост $^*\mathbb R^n$ не связен. Тогда существуют такие непустые замкнутые (в самом наросте, и, следовательно, во всей компактификации) подмножества $F_1$ и $F_2$, что $F_1\cup F_2={^*\mathbb R^n}$ и $F_1\cap F_2=\varnothing$. Наша цель — построить последовательность точек $\mathbb R^n$, которая содержит бесконечное множество различных точек, но не имеет предельных точек ни в $\mathbb R^n$, ни в $F_1$, ни в $F_2$. Это будет означать, что $v\mathbb R^n$ не компактно, а это, естественно, противоречит определению компактификации. Поэтому предположение о несвязности нароста ложно.
Так как хаусдорфово компактное пространство нормально, множества $F_1$ и $F_2$ имеют такие открытые окрестности $UF_1\subseteq v\mathbb R^n$ и $UF_2\subseteq v\mathbb R^n$, что их замыкания $\Phi_1=[UF_1]_{v\mathbb R^n}$ и $\Phi_2=[UF_2]_{v\mathbb R^n}$ не пересекаются.
Заметим, что множества $\Psi_1=\Phi_1\setminus F_1=\Phi_1\cap\mathbb R^n$ и $\Psi_2=\Phi_2\setminus F_2=\Phi_2\cap\mathbb R^n$ оба замкнуты в $\mathbb R^n$, но не замкнуты в $v\mathbb R^n$, так как в противном случае хотя бы одно из множеств $F_1=UF_1\setminus\Psi_1$ или $F_2=UF_2\setminus\Psi_2$ было бы открытым в $v\mathbb R^n$, что невозможно, так как нарост компактификации не может содержать открытое множество. Из этого следует, что эти множества не ограничены в $\mathbb R^n$.
Вследствие нормальности $v\mathbb R^n$ существует такая непрерывная функция $g\colon v\mathbb R^n\to[0,1]$, что $gx=0$ для всех $x\in\Phi_1$ и $gx=1$ для всех $x\in\Phi_2$.
Теперь для каждого $k=1,2,3,\ldots$ множества $\Psi_1\setminus B_k$ и $\Psi_2\setminus B_k$ не являются пустыми. Выберем в них по точке $\mathbf r_{1,k}$ и $\mathbf r_{2,k}$ и определим непрерывную вектор-функцию $\mathbf h_k\colon[0,1]\to\mathbb R^n$ формулой $\mathbf h_kt=(1-t)\cdot\mathbf r_{1,k}+t\cdot\mathbf r_{2,k}$, $t\in[0,1]$. Образ отрезка $[0,1]$ при этой вектор-функции представляет собой отрезок прямой в пространстве $\mathbb R^n$, соединяющий точки $\mathbf r_{1,k}$ и $\mathbf r_{2,k}$. Этот отрезок может пересекать шар $B_k$, но заведомо его не покрывает, поэтому существует точка $\mathbf r_{0,k}\in B_k$, не принадлежащая указанному отрезку. Воспользуемся описанной выше ретракцией $\tau_{k,\mathbf r_{0,k}}$ и получим другую непрерывную вектор-функцию $\tilde{\mathbf h}_k=\tau_{k,\mathbf r_{0,k}}\mathbf h_k$, для которой образ отрезка $[0,1]$ лежит вне шара $B_k$.
Определим непрерывную функцию $g_k\colon[0,1]\to[0,1]$ формулой $g_k=g\tilde{\mathbf h}_k$. Легко вычислить, что $g_k0=0$, $g_k1=1$. Так как функция, непрерывная на отрезке, принимает на нём все значения, промежуточные между значениями на концах, существует такая точка $t_k\in[0,1]$, что $g_kt_k=\frac 12$. Обозначим $\mathbf z_k=\tilde{\mathbf h}_kt_k$. Точка $\mathbf z_k$ лежит вне шара $B_k$.

Последовательность точек $\mathbf z_k,\mathbf z_k,\mathbf z_k,\ldots,\mathbf z_k,\ldots$ удовлетворяет заявленным требованиям, то есть, содержит бесконечное множество различных точек, но не имеет предельных точек ни в $\mathbb R^n$, ни в $F_1$, ни в $F_2$.

Уточнение деталей и вообще наведение марафета оставляю читателям, поскольку я уже утомился всё это писать.

Если уважаемый Padawan имел в виду какое-нибудь изящное решение, прошу его изложить.

[g______d]

Это почти то же самое решение, но, по-моему, всё-таки короче.

Пусть $Y$ -- компактификация $\mathbb R^n$, $Y\setminus \mathbb R^n=\{y_1,\ldots,y_m\}$ её нарост.

Тогда, в силу хаусдорфовости, существуют непересекающиеся открытые окрестности $U_1',\ldots U_m'\subset Y$, $y_j\in U_j'$.

Пусть $U_j=U_j'\cap \mathbb R^n$ -- соответствующие открытые подмножества $\mathbb R^n$. Тогда можно сказать следующее: любая неограниченная последовательность точек $\mathbb R^n$ имеет подпоследовательность, целиком содержащуюся в одном из $U_j$. Кроме того, каждое из $U_j$ содержит точки сколь угодно далеко от начала координат.

Введём $A_j=\{x\in \mathbb R^n\colon j-1<|x|<j+1\}$. Тогда верно одно из двух:

1) Для $j\ge j_0$, каждое $A_j$ содержится целиком в каком-то $U_k$ (вообще говоря, зависящим от $j$). Рассматривая соседние $j$, легко видеть, что $k$ на самом деле должно быть одинаковым для всех $j$. Противоречие с предыдущим абзацем про сколь угодно большие точки.

2) Существует подпоследовательность $A_{j_i}$, каждый член которой не содержится целиком ни в каком $U_k$. Из связности $A_j$ получаем

$$ A_{j_i}\setminus (U_1\cup\ldots \cup U_m)\neq \varnothing. $$

Выбирая последовательность $x_i\in A_{j_i}$, получаем противоречие, как и у Someone.

[Padawan]

Someone в сообщении #1495660 писал(а):

Это на какой же олимпиаде такую задачу дали?

Энгелькинг дал в своём учебнике по топологии (стр. 265).

Мое док-во почти такое же, как предложенные. Только без участия последовательностей точек.
Пусть $Y$ -- компактификация $\mathbb R^n$ с конечным наростом, $\{y_1,\ldots, y_m\}$ -- её нарост.
Сначала заметим, что для любого компактного множества $A\subset\mathbb R^n$ и для любой точки нароста выполнено $y_i\in\overline{\mathbb R^n\setminus A}$, где черта означает замыкание в $Y$. Действительно, $A$ замкнуто в $Y$, поэтому

$$ y_i\in\overline{\mathbb R^n}=\overline{(\mathbb R^n\setminus A)\cup A}=\overline{\mathbb R^n\setminus A}\cup \overline{A}=\overline{\mathbb R^n\setminus A}\cup A, $$

и так как $y_i\not\in A$, то $y_i\in\overline{\mathbb R^n\setminus A}$.

Пусть $U_1,\ldots, U_m$ -- непересекающиеся окрестности точек $y_1,\ldots, y_m$ в пространстве $Y$ (т.к. $Y$ хаусдорфово, такие найдутся). Множество $C=Y\setminus \bigcup\limits_{i=1}^m U_i$ замкнуто в $Y$, а значит, компактно. Кроме того, $C\subset\mathbb R^n$. Возьмём замкнутый шар $A\subset\mathbb R^n$, содержащий множество $C$. Тогда $\mathbb R^n\setminus A$ покрыто непересекающимися открытыми в $\mathbb R^n$ множествами $U_i\cap\mathbb R^n$, каждое из которых непусто (замечание в начале док-ва). Это противоречит связности множества $\mathbb R^n\setminus A$.

В случаем $n=1$ надо сказать, что отсюда следует, что $m\leqslant 2$.

Someone
Точно, Вы правы! Точно также доказывается, что нарост любой компактификации $\mathbb R^n$ (при $n\geqslant 2$) связен. В качестве $U_1, U_2$ возьмём непересекающиеся окрестности замкнутых множеств $F_1, F_2$, на которые разбит нарост.

Когда Вы высказали это утверждение, я придумал другое доказательство.
Заметим, что нарост можно представить в виде

$$ Y\setminus\mathbb R^n=\bigcap_{A_k} \overline{\mathbb R^n\setminus A_k}, $$

где $A_k$ -- замкнутый шар радиуса $k$ с центром в начале координат. Это следует из замечания в начале моего решения (в одну сторону, что нарост входит в пересечение) и того, что $\mathbb R^n$ открыто в $Y$ (в другую сторону, что никакая точка из $\mathbb R^n$ не принадлежит пересечению). Каждое из множеств $\overline{\mathbb R^n\setminus A_k}$ связно. Тогда по следующей теореме (Энгелькинг, стр. 522) $Y\setminus\mathbb R^n$ тоже связно.
Теорема. Пусь $\{C_s\}$ -- некоторое семейство подпространств топологического пространства $X$, каждое из которых является континуумом. Если для любых $s_1, s_2\in S$ существует $s_3\in S$ такое, что $C_{s_3}\subset C_{s_2}\cap C_{s_2}$, т.е. если семейство $\{C_s\}_{s\in S}$ направлено отношением $\supset$, то пересечение $\bigcap\limits_{s\in S} C_s$ является континуумом.