ЛЛ. т2. Ковариантное дифференцирование

[warlock66613]

kzv в сообщении #1495659 писал(а):

в каком базисе это поле получено?

В базисе, порождённым полярными координатами. $2x \vec e_x + 3y \vec e_y = \vec A = \vec A' = (2r\cos^2\varphi+3r\sin^2\varphi)\vec e_r+(\frac{1}{2}r^2\sin2\varphi)\vec e_\varphi$

(Надо сказать, что штрих в ЛЛ в весьма неудачном месте пишется — кажется, как будто он относится к самому вектору, тогда как на самом деле он относится к координатам вектора. Запись вида $A^{\mu'}$ всё-таки гораздо лучше, чем $A'^\mu$.)

[kzv]

warlock66613 в сообщении #1495662 писал(а):

kzv в сообщении #1495659 писал(а):

в каком базисе это поле получено?

В базисе, порождённым полярными координатами. $\vec A = \vec A' = (2r\cos^2\varphi+3r\sin^2\varphi)\vec e_r+(\frac{1}{2}r^2\sin2\varphi)\vec e_\varphi$

О понятно. Спасибо!

А если ответ в "правильном" полярном базисе, то разве квадрат вектора не должен быть скаляром который не зависит от системы координат?

$(\vec{A'},\vec{A'})=(\vec{A},\vec{A})$

По моему тут равенство не получится?

[warlock66613]

Всё получится, просто квадрат вектора надо вычислять по правильной формуле. Для произвольных криволинейных координат правильная формула — $g_{\mu \nu} A^\mu A^\nu$, что также кратко записывается как $A^\mu A_\mu$.

Здесь $g_{\mu \nu}$ — это метрический тензор. Для декартовых координат $g_{\mu \nu} = \delta_{\mu \nu}$, где $\delta$ — символ Кронекера, а чтобы в полярной системе получить компоненты, их надо пребразовать по правилу преобразования компонент тензора.

[sergey zhukov]

kzv
Метрический тензор, символы Кристоффеля, векторы и ковекторы, главная и дуальная система координат, ковариантная производная - все это возникает уже на плоскости, как только мы накладываем на нее криволинейные координаты. Искривленное пространство для этого не обязательно.

Подход к любым криволинейным координатам одинаковый. Рассмотрим для примера любую двумерную сетку криволинейных координат на плоскости (это могут быть и полярные координаты). Если любую кривую линию бесконечно увеличивать, она стремится к прямой. Аналогично, если рассматривать все более мелкую ячейку криволинейной двумерной сетки, она в общем случае стремится к некоторому параллелограмму. Т.е. любые криволинейные координаты локально в каждой точке представляются косоугольными координатами с ортами разной длины (разный масштаб по осям). Это значит, что в каждой точке $(x,y)$ криволинейных координат мы локально имеем некоторые косоугольные координаты, которые (в двумерном случае) характеризуются тремя числами: два масштаба по двум осям (допустим, это $m(x,y)$, $n(x,y)$) и угол между ними ($\alpha(x,y)$). Разумеется, $m(x,y)$, $n(x,y)$ и $\alpha(x,y)$ - это все функции координат.

Допустим, мы нарисовали на плоскости бесконечно маленький круг радиусом $dS$ и наложили на плоскость криволинейные координаты. Центр круга оказался в точке $(x,y)$. Как будет описываться этот круг в таких координатах? Т.к. он бесконечно мал, то мы можем приблизить криволинейные координаты в точке $(x,y)$ косоугольными координатами с масштабами по осям $m$, $n$ и углом между ними $\alpha$. В таких координатах круг радиусом $dS$, как вы и сами можете найти, описывается так:

$$[m^2]dx^2+[n^2]dy^2+[mn\cos(\alpha)]dxdy+[mn\cos(\alpha)]dxdy=dS^2$$

Величины в квадратных скобках при квадратах и произведениях дифференциалов - это компоненты метрического тензора, который в двумерном случае имеет четыре компоненты. Как видно, метрический тензор в данном случае можно понимать, как три функции двух переменных $(x,y)$(четвертая повторяет третью), которые содержат полное описание криволинейных координат.

Интересно, что для полного описания криволинейных координат в плоском пространстве (и в двумерном случае) достаточно вообще-то двух функций двух переменных. Почему же здесь их три? Потому, что на самом деле эти функции не независимы. Масштабы по осям и угол между ними для любых криволинейных координат на плоскости связаны так, что на самом деле одна из трех функций определяется двумя другими. А что, если мы зададим эти функции совершенно независимо друг от друга? Какая криволинейная система координат будет соответствовать такому метрическому тензору? На плоскости - никакая. Но вот на некоторой искривленной поверхности - будет. Поэтому метрический тензор с произвольными функциями $m(x,y)$, $n(x,y)$ и $\alpha(x,y)$ в общем случае описывает некоторые криволинейные координаты на некоторой искривленной поверхности. И только при специально подобранных функциях $m(x,y)$, $n(x,y)$ и $\alpha(x,y)$ это будут криволинейные координаты именно на плоскости. Это по поводу того, что такое кривизна пространства и что такое криволинейные координаты.

Выражение для квадрата длины малого отрезка в косоугольных координатах у нас получилось такое:

$$dS^2=[m^2]dx^2+[n^2]dy^2+[2mn\cos(\alpha)]dxdy$$

Оказывается, что в каждой точке криволинейных координат можно рассматривать сразу две разные косоугольные системы координат (главная и дуальная), причем одна получается из другой при помощи метрического тензора. Если нужно найти длину малого отрезка $dS$, то можно использовать формулу выше, а можно найти $dS$ и проще:

$$dS^2=dx^{\prime} dx_{\prime}+dy^{\prime}dy_{\prime}$$

Здесь $dx^{\prime}$ и $dy^{\prime}$ - дифференциалы координат отрезка $dS$ в главной системе координат, а $dx_{\prime}$ и $dy_{\prime}$ - дифференциалы координат этого же отрезка $dS$ в дуальной системе координат.
Прямоугольные координаты можно рассматривать, как частный случай этой формулы, в которой главная и дуальная система координат совпадают, так что $dx^{\prime}=dx_{\prime}=dx$ и $dy^{\prime}=dy_{\prime}=dy$. Криволинейные координаты можно представлять не как одну, а как сразу две сетки криволинейных координат, существующих параллельно. Любой геометрический объект может быть спроецирован на любую из этих сеток, причем его компоненты в главной системе координат называются контравариантными, а его компоненты в дуальной системе - ковариантными. Имея две эти сетки координат, можно забыть о метрическом тензоре и вместо него пользоваться параллельно двумя этими системами координат.

Поэтому вектор и ковектор - это один и тот же вектор, но спроецированный на главную или дуальную систему координат. Видно, что векторы и ковекторы - это порождение криволинейности координат, они существуют в плоском пространстве так же, как и в искривленном.

[kzv]

warlock66613 в сообщении #1495664 писал(а):

Всё получится, просто квадрат вектора надо вычислять по правильной формуле. Для произвольных криволинейных координат правильная формула — $g_{\mu \nu} A^\mu A^\nu$, что также кратко записывается как $A^\mu A_\mu$.

Здесь $g_{\mu \nu}$ — это метрический тензор. Для декартовых координат $g_{\mu \nu} = \delta_{\mu \nu}$, где $\delta$ — символ Кронекера, а чтобы в полярной системе получить компоненты, их надо пребразовать по правилу преобразования компонент тензора.

Все равно не получается.
Из википедии метрический тензор в полярных координатах:

$$g=\begin{pmatrix}1& 0 \\ 0& r^2 \end{pmatrix}$$

Компоненты вектора в полярных координатах через компоненты в декартовых в общем виде у меня получаются:

$A'_1=A_x\frac{\partial(r\cos\varphi)}{\partial r}+A_y\frac{\partial (r\sin\varphi)}{\partial r}=\frac{A_x x+A_y y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

$A'_2=A_x\frac{\partial(r\cos\varphi)}{\partial \varphi}+A_y\frac{\partial(r\sin\varphi)}{\partial \varphi}=-A_x y + A_y x$

Квадрат вектора в полярных координатах:

$(\vec{A'},\vec{A'})=g^{ij}A'_iA'_j=-\frac{(A_x x+A_y y)^2}{x^2+y^2} - (A_y x-A_x y)^2(x^2+y^2)$

По моему очевидно, что это не приведется к квадрату в декартовых:

$(\vec{A},\vec{A})=A^2_x+A^2_y$

[realeugene]

kzv
В общем случае $g^{ij} \ne g_{ij}$. Обратите матрицу метрического тензора.

[kzv]

realeugene в сообщении #1495698 писал(а):

kzv
В общем случае $g^{ij} \ne g_{ij}$. Обратите матрицу метрического тензора.

Спасибо, разобрался!

Еще вопрос в эту же тему: являются ли символы Кристоффеля тензором третьего ранга или это тензор второго ранга? В общем случае, как пишут в ЛЛ это вообще не тензор, но меня интересует этот вопрос с точки зрения дальнейшего применения к выводу уравнений Эйнштейна. Можно ли взять ковариантную производную (ковариантный дифференциал) от символов Кристоффеля?

[realeugene]

kzv в сообщении #1495751 писал(а):

являются ли символы Кристоффеля тензором

Нет, не являются. Ненулевой тензор нельзя обнулить преобразованием координат. А символы Кристоффеля - можно. Некоторые их комбмнации могут быть тензорами.

[kzv]

realeugene в сообщении #1495766 писал(а):

kzv в сообщении #1495751 писал(а):

являются ли символы Кристоффеля тензором

Нет, не являются. Ненулевой тензор нельзя обнулить преобразованием координат. А символы Кристоффеля - можно. Некоторые их комбмнации могут быть тензорами.

То есть если я хочу найти вариацию, то дифференцировать эти символы надо по обычным правилам, а понятие ковариантной производной к ним не применимо?

[sergey zhukov]

kzv
Ковариантная производная - это по определению производная по полю какого-либо объекта, которая не зависит от координатной сетки, в которых это поле рассматривается.

Символы Кристоффеля - это числа, которые описывают саму координатную сетку, это параметры координатной системы. Поэтому ни они сами, ни их производные от координатной сетки не зависеть не могут.

Символы Кристоффеля не существуют без координатной сетки. Это не объекты, на которые можно наложить любые координаты. Это свойство самих координат.

[kzv]

Просто я пытаюсь разобраться сейчас с выводом уравнений Эйнштейна и там присутствует эта вариация от символов Кристоффеля. На мой непрофессиональный взгляд: вариация по математической сути то же, что и дифференцирование. Получается, что там в выводе речь про ковариантный дифференциал не идет?

Конкретно: ЛЛ т.2, параграф 95, стр. 335 (в той редакции которую я читаю).
Цитата: "С помощью выражения (92.7) для $R_{ik}$ имеем (помня, что первые производные от $g^{ik}$ равны теперь нулю):"
$g^{ik}\delta R_{ik}=g^{ik}(\frac{\partial}{\partial x^l}\delta \Gamma^l_{ik}-\frac{\partial}{\partial x^k}\delta \Gamma^l_{il})=...$

Слева стоит тензор Риччи. Значит вариация слева предполагает ковариантное дифференцирование? Справа стоят не тензоры, значит варьирование справа по обычным правилам?
Я не могу это равенство получить, не знаю в какую сторону копать даже (
Формула (92.7), которая якобы тут как-то должна помочь:

$R_{ik}=\frac{\partial\Gamma^l_{ik}}{\partial x^l}-\frac{\Gamma^l_{il}}{\partial x^k}+\Gamma^l_{ik}\Gamma^m_{lm}-\Gamma^m_{il}\Gamma^l_{km}$

Мне надо от этой формулы ковариантный дифференциал взять чтобы вариацию получить?

[Geen]

kzv в сообщении #1495776 писал(а):

Значит вариация слева предполагает ковариантное дифференцирование?

Ну с чего вдруг?

[пианист]

kzv в сообщении #1495776 писал(а):

Справа стоят не тензоры

Там чуть выше авторы этот момент объясняют.

[kzv]

Geen в сообщении #1495783 писал(а):

kzv в сообщении #1495776 писал(а):

Значит вариация слева предполагает ковариантное дифференцирование?

Ну с чего вдруг?

Я не знаю. Интуитивно просто.
Вариация это же поиск какого-то экстремума, разве нет? Экстремум можно найти двигаясь по пространству. Если пространство плоское - все как обычно, дифференциалы, производные. Если пространство кривое - все дифференциалы и производные должны быть ковариантными...
В выводе уравнений Эйнштейна рассматривается общий случай пространства и координат, значит надо общий случай дифференциалов и производных брать: ковариантные.

[Geen]

kzv в сообщении #1495789 писал(а):

Экстремум можно найти двигаясь по пространству.

По какому именно?