Скобка Пуассона и коммутатор.

[пианист]

Определим линейный оператор $X_F$ в пространстве с переменными $x, y, p, q$, где $F$ - произвольная достаточно гладкая функция тех же переменных, так:
$X_F(u) = (F,u)$, а $(*, *)$ - скобка Пуассона, $(F, G) = F_pG_x + F_qG_y - F_xG_p - F_yG_q$.
Легко проверяется, что если скобка двух функций функционально выражается через эти функции $(F, G) = f(F, G)$, то коммутатор полей $X_F, X_G$ раскладывается по этим полям:
$[X_F, X_G] = \lambda X_F + \mu X_G$,
где $\lambda , \mu$ - некоторые функции $x, y, p, q$.
Верно ли обратное утверждение?

[scwec]

Если функции $F,G$ независимы и скобка Пуассона $(F,G)=\operatorname{const}$, то коммутатор
$[X_F, X_G]=0\cdot{X_F}+0\cdot{X_G}$, т.е. раскладывается по полям, однако $(F,G)$ функционально не выражается через $F$ и $G$
(хотя как посмотреть, можно записать $(F,G)=F+G-F-G+\operatorname{const}$)

[пианист]

Константа, сиречь функция четырех аргументов, принимающая всегда одно и то же значение, да, функционально выражается через любую пару функций тех же четырех аргументов: подставляем эту пару функций в константу же, но уже рассматриваемую как функцию двух аргументов.

[scwec]

В обратную сторону. Пусть $(F,G)=f(F,G,U,W)$, и $F,G,a,b,U,W$ некоторые функции от $x,y,p,q$. Коэффициенты в разложении
$X_{(F,G)}$ по векторам $X_F, X_G, X_U,X_W$ это частные производные от $(F,G)$ по $F,G,U,W$.
При $X_{(F,G)}=aX_F+bX_G$ производные по $U,W$ равны нулю и скобка Пуассона $(F,G)$ зависит только от двух функций $F$ и $G$.

[пианист]

Согласен.
Приведу свой вариант: система $X_F(u) = X_G(u) = 0$ совместна и а) ее общее решение задается как произвольная функция двух каких-то функционально независимых решений $H$ и $K$, б) скобка любых двух решений тоже решение (получается по тождеству Якоби) и, стало быть, есть $f(H, K)$. Поскольку $F$ и $G$, симметрично, решения системы (также совместной) $X_H(v) = X_K(v) = 0$, то для $F$ и $G$ получаем такой же вывод.