2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Скобка Пуассона и коммутатор.
Сообщение06.12.2020, 11:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Определим линейный оператор $X_F$ в пространстве с переменными $x, y, p, q$, где $F$ - произвольная достаточно гладкая функция тех же переменных, так:
$X_F(u) = (F,u)$, а $(*, *)$ - скобка Пуассона, $(F, G) = F_pG_x + F_qG_y - F_xG_p - F_yG_q$.
Легко проверяется, что если скобка двух функций функционально выражается через эти функции $(F, G) = f(F, G)$, то коммутатор полей $X_F, X_G$ раскладывается по этим полям:
$[X_F, X_G] = \lambda X_F + \mu X_G$,
где $\lambda , \mu$ - некоторые функции $x, y, p, q$.
Верно ли обратное утверждение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Скобка Пуассона и коммутатор.
Сообщение07.12.2020, 12:55 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Если функции $F,G$ независимы и скобка Пуассона $(F,G)=\operatorname{const}$, то коммутатор
$[X_F, X_G]=0\cdot{X_F}+0\cdot{X_G}$, т.е. раскладывается по полям, однако $(F,G)$ функционально не выражается через $F$ и $G$
(хотя как посмотреть, можно записать $(F,G)=F+G-F-G+\operatorname{const}$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Скобка Пуассона и коммутатор.
Сообщение07.12.2020, 15:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Константа, сиречь функция четырех аргументов, принимающая всегда одно и то же значение, да, функционально выражается через любую пару функций тех же четырех аргументов: подставляем эту пару функций в константу же, но уже рассматриваемую как функцию двух аргументов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скобка Пуассона и коммутатор.
Сообщение07.12.2020, 18:18 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
В обратную сторону. Пусть $(F,G)=f(F,G,U,W)$, и $F,G,a,b,U,W$ некоторые функции от $x,y,p,q$. Коэффициенты в разложении
$X_{(F,G)}$ по векторам $X_F, X_G, X_U,X_W$ это частные производные от $(F,G)$ по $F,G,U,W$.
При $X_{(F,G)}=aX_F+bX_G$ производные по $U,W$ равны нулю и скобка Пуассона $(F,G)$ зависит только от двух функций $F$ и $G$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скобка Пуассона и коммутатор.
Сообщение07.12.2020, 19:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Согласен.
Приведу свой вариант: система $X_F(u) = X_G(u) = 0$ совместна и а) ее общее решение задается как произвольная функция двух каких-то функционально независимых решений $H$ и $K$, б) скобка любых двух решений тоже решение (получается по тождеству Якоби) и, стало быть, есть $f(H, K)$. Поскольку $F$ и $G$, симметрично, решения системы (также совместной) $X_H(v) = X_K(v) = 0$, то для $F$ и $G$ получаем такой же вывод.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group