Нужно найти (возможно оценить сверху/снизу), какую долю от общего количества таких сумм составят суммы, не превышающие
.
Ааа, я плохо смотрел...Ну так это - совсем другое дело! Т.е., Вам надо найти матожидание количества тех сумм (среди первых
штук), которые меньше
. В силу линейности матожидания, оно в точности равно
, где
- одна из сумм (все они распределены одинаково, как Вам уже писали - хотя и не независимы; для матожидания суммы это неважно). Осталось найти эту вероятность.
Я сосчитаю ее для случая, когда все слагаемые распределены равномерно на
(Ваш дискретный случай можно сделать аналогично - где то тут - типа под названием "комбинаторные тождества" - это обсуждалось. Ну, или - в случае больших
- используйте ЦПТ). Легко видеть
, что (при
) она равна
...
(Оффтоп)
Это следует из формулы включений-исключений и формулы для объема
-мерной пирамиды при решении задачи "каков объем части
-мерного куба
, лежащей в полупространстве
". Порисуйте картинки в двумерном и трехмерном случаях - и увидите, что правда это...
(Оффтоп)
Вывод общей формулы стандартен: пусть
равна 1, если
-я сумма меньше
, и равна 0 - иначе. Тогда
- и есть кол-во сумм, меньших
. Значит, ожидаемое кол-во сумм, меньших
, равно