Два уравнения Пелля с параметрами.

[TR63]

Существуют ли параметры $(y;q)\in N^+$, при которых уравнения Пелля
1). $z^2-(y^2+1)x^2=y^2-(200q+6)>0$
2).$z^2-(y^2+4)x^2=y^2-(200q+14)>0$
имеют решение.

[Andrey A]

TR63 в сообщении #1495570 писал(а):

1). $z^2-(y^2+1)x^2=y^2-(200q+6)>0$

По-другому: $z^2+200q+7=(x^2+1)(y^2+1)$

Слева по $\mod 8$ возможные варианты: $0,3,7.$ Cправа: $1,2,4,5.$ Противоречие.

[Andrey A]

TR63 в сообщении #1495570 писал(а):

2).$z^2-(y^2+4)x^2=y^2-(200q+14)>0$

$x=15,y=217,z=3260,q=77.$

Непонятно только почему Вы считаете это Пеллем. Повезло парню. Хотя, растиражировать это с помощью Пелля — да можно. https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+in+integers+z%5E2-47093*x%5E2%3D31675

[TR63]

Andrey A, спасибо.

Andrey A в сообщении #1495575 писал(а):

По-другому: $z^2+200q+7=(x^2+1)(y^2+1)$

Красивый ход.
У меня решение длиннее. Я проверяла в лоб, какой может быть последняя цифра у параметра $(y)$. Получилось, что решений нет.
Для второго уравнения этот метод не подходит.

[Andrey A]

Ага. Не заметил что мы в олимпиадном разделе. Последняя цифра это по $\mod 10.$ Во втором уравнении такой же красивый ход: $z^2+200q+18=(x^2+1)(y^2+4)$. То есть $(x^2+1)(y^2+4)-18$ квадратичный вычет по $\mod 200$. Подошел бы любой квадрат, если бы не несколько искусственное условие $>0.$ Пеллем называть это не стал бы.

[TR63]

Andrey A в сообщении #1495611 писал(а):

Непонятно только почему Вы считаете это Пеллем.

TR63 в сообщении #1495570 писал(а):

Существуют ли параметры $(y;q)\in N^+$, при которых уравнения Пелля
1). $z^2-(y^2+1)x^2=y^2-(200q+6)>0$
2).$z^2-(y^2+4)x^2=y^2-(200q+14)>0$
имеют решение.

При фиксированных параметрах будем иметь обобщённые уравнения Пелля. (Пропустила слово обобщённые? Учту.)

Andrey A в сообщении #1495633 писал(а):

несколько искусственное условие $>0.$

Согласна. Но пока пусть будет.

Хотелось бы подробнее рассмотреть второе уравнение относительно существования решения в зависимости от последней цифры у параметра $(y)$.

TR63 в сообщении #1495570 писал(а):

2).$z^2-(y^2+4)x^2=y^2-(200q+14)>0$

У меня получилось, что, если решение существует, то $(x;y)$ должны быть нечётными. Тогда рассмотрим, каким должно быть $(z)$, чтобы решение существовало. Получим:
1). $y=10k+1$, $(z)$ не существует
2). $y=10k+3$, возможные последние цифры $(z^2)=(0_?;2_-;8_-)$
3). $y=10k+5$, возможные последние цифры $(z^2)=(0_-;2_-;6_?)$
4). $y=10k+7$, возможные последние цифры $(z^2)=(0_+;2_-;8_-)$
5). $y=10k+9$, $(z)$ не существует

Остались не рассмотренными два случая (если я не ошиблась в остальных):
2). $y=10k+3$, возможные последние цифры $(z^2)=(0_?;2_-;8_-)$
3). $y=10k+5$, возможные последние цифры $(z^2)=(0_-;2_-;6_?)$

Т.е. надо выяснить, существует ли решение, если параметр $(y)$ оканчивается на цифры $(3;5)$. При существовании решение найдётся перебором. А если не существует? В любом случае будет интересно посмотреть, как на самом деле.

[Andrey A]

TR63 в сообщении #1495704 писал(а):

... если решение существует, то $(x;y)$ должны быть нечётными.

Это верно. А $z$ должно быть кратно четырем. Других ограничений не вижу кроме одного: $(x^2+1)(y^2+4)-18$ квадратичный вычет по $\mod 200$. Если оно выполняется, то оснований квадратов по $\mod 200$ находится не меньше четырех (в качестве $z$), и ко всем можно прибавлять $\pm 200k$. Последнее относится и к параметрам $x,y.$ Остается подобрать их так, чтобы выполнялось условие $>0$, или выписать неравенство.
Далась Вам эта последняя цифра ))

[TR63]

Andrey A в сообщении #1495714 писал(а):

$z$ должно быть кратно четырем

Это знаю.

Andrey A в сообщении #1495714 писал(а):

Далась Вам эта последняя цифра

Проверяю некоторую гипотезу. Поэтому надо именно в формулировке:

TR63 в сообщении #1495704 писал(а):

существует ли решение, если параметр $(y)$ оканчивается на цифры $(3;5)$

. Сами по себе уравнения меня мало интересуют. Так что, если решения указанного вида существуют, то хотелось бы увидеть их конкретно. Пожалуйста, помогите их найти именно в этих двух случаях.

[Andrey A]

$x=5,y=83,z=420,q=14.$

$x=21,y=215,z=4520,q=14.$

[TR63]

Andrey A, большое спасибо.
Теперь, глядя на Ваши примеры, вижу у себя ошибку (нашла, где именно: невнимательность). Должно быть:

TR63 в сообщении #1495704 писал(а):

3). $y=10k+5$, возможные последние цифры $(z^2)=(0_+;2_-;6_?)$

Но, в принципе, материала уже достаточно.