Некоторые книжки "для физики"

[Alex-Yu]

KregSeptim в сообщении #1494455 писал(а):

ибо все эти вариации и экстремали поразительно похожи на соответствующие вещи в многомерном анализе.

Вот именно. Если заменить непрерывную функцию на функцию на сетке, то вариационная производная это просто частная производная. А вариация --- обычный дифференциал.

-- Сб ноя 28, 2020 22:42:33 --

KregSeptim в сообщении #1494455 писал(а):

Не подскажете конкретные курсы, где этого можно быстренько нахвататься хотя бы на примитивном уровне

Ну возьмите курс под ред Тихонова (где матан Ильина-Поздняка). ТФКП мне оттуда и совсем нравится --- все что надо есть, и без излишеств. И не длинно.

[nnosipov]

KregSeptim в сообщении #1494455 писал(а):

Напишу позже, если не забуду, тем более это оффтоп от основной темы.

Да, конечно. Можно мне в ЛС, просто любопытно.

[lel0lel]

nnosipov
Конкретные разделы назвать не просто. Поэтому попробую привести несколько примеров.

Статы.
Бозе и Ферми системы: используется представление чисел заполнения. Полезен результат из теории чисел о числе представлений целого числа $n$ в виде суммы $k$ слагаемых. Неоднократно встречал статьи в которых используют асимптотические формулы, в том числе формулу Харди и Рамануджана. Также для указанных систем дзета-функция Римана непосредственно связана со средними значениями величин. Впрочем тут, конечно, можно обойтись её приближенными значениями.
Кванты.
Возможно, некоторые примеры покажутся притянутыми за уши. Тем не менее:
1) Интегралы от произведения сферических гармоник, стало быть $3j, 6j$-символы. Хотя это скорее теория групп, но в некотором смысле сам объект определён как функция на целых. И хорошо бы уметь для таких объектов находить рекуррентные соотношения.
2) Диаграммы Юнга.
3) Сама по себе важность рекуррентностей в квантах. Зачастую спектральная задача (диф. уравнение) может быть решена исследованием соответствующей рекуррентности (смотреть например задачник Флюгге). Справедливости ради это, конечно, не основной способ, всегда есть обходные пути.
4) История из личного опыта времён аспирантуры. Сижу я как-то на кафедре и пью чай, а старшие коллеги обсуждают какую-то задачу, которую они с энтузиазмом
собираются решать. Слышу примерно такой диалог:
- А что если рассмотреть многомерный гармонический осциллятор с таким-то возмущением и для него применить континуальный интеграл, который затем вычислить методом Монте-Карло.
- Для больших размерностей не получится, поскольку нужно знать кратность вырождения уровней осциллятора, а формулы для неё нет.
- Да, действительно, не подумал об этом. Наверное формула очень сложная, мне нигде не встречалась.
Я взял листик, сижу и думаю про себя, да какая же там формула -- не должна она быть сложная (ведь это просто число разбиений числа $n$ на $k$ неотрицательных слагаемых). И через пару минут отвлекаю своих коллег и сообщаю им, что в случае $k$-мерного осциллятора мне известна формула для кратности вырождения уровня c энергией $E_n=\hbar \omega (n+k/2)$, здесь $n=n_1+\ldots+n_k$ и $n_i \in\mathbb{N}$. Когда написал на доске следующую формулу, мы ещё какое-то время проверяли её на малых размерностях и только потом коллеги согласились, что она работает

$$g(n)=\sum\limits_{i_1=0}^{n}\sum\limits_{i_2=0}^{n-i_1}\sum\limits_{i_3=0}^{n-i_1-i_2}\ldots\sum\limits_{i_{k-1}=0}^{n-(i_1+\ldots+i_{k-2})}1={\binom {k+n-1}{n}}.$$

Конечно, это скорее комбинаторика.

P.S. Соглашусь, что физикам в полном объёме теория чисел совершенно не нужна. Есть физические предметы (особенно на старших курсах), которые необходимо учить и на это уходит много сил. Но вот на младших курсах, пока энтузиазм ещё не иссяк, да и физика довольно ещё простая, я считаю было бы очень полезно ввести для желающих спецкурс "Комбинаторика и некоторые начала теории чисел". В этот спецкурс включить:
1) Углублённый материал по комбинаторике с примерами доказательств некоторых тождеств.
2) Рекуррентные последовательности и связь с диффурами (упор сделать на линейные).
3) Приведённая система вычетов по модулю $p$ и связанные результаты. На первый взгляд это лишнее. Но, во-первых, уже только в эстетических целях человек, получающий университетское образование, должен с этим познакомиться. Возможно, что и в будущем ему будет свойственно тяготеть к чему-то красивому (это пойдёт на пользу всей физике). А во-вторых, это очень удачная тема для демонстрации на младших курсах понятия мультипликативной группы. Это вселяет надежду, что когда у теоретиков будет читаться теория групп (которая им жизненно необходима) они будут иметь небольшую прививку.

Вот чего пожалуй физикам не нужно совсем так это диофантовых уравнений, эллиптических кривых и других энергозатратных тем. Ни разу не встречал, чтобы это где-нибудь использовалось. А кто всё-таки станет работать в смежных темах типа квантовая передача информации, то с теоретико-числовыми основами в первом приближении ознакомится сам.

[StaticZero]

Я так понимаю, что для глубокого изучения квантовой механики теория групп является сущей необходимостью?

[lel0lel]

Крайне желательно -- да. Необходимо -- нет. Просто в некоторых темах придётся постоянно "прихрамывать". Там где можно что-то быстро и легко получить и доказать с помощью аппарата теории групп, тому, кто с ней плохо знаком придётся прикладывать гораздо больше усилий. Себя я как раз отношу к тем кто плохо знаком (так уж вышло). Тем не менее это не мешает работать и получать результаты, которые интересуют других. К тому же, как правило, в этой области работа чаще всего ведётся некоторой группой людей, обычно среди них есть тот кто могёт. Да и исследования в квантовой теории бывают очень разные. Например чисто расчётные задачи -- там никакой высокой теории и не возникает.

[Alex-Yu]

StaticZero в сообщении #1494498 писал(а):

Я так понимаю, что для глубокого изучения квантовой механики теория групп является сущей необходимостью?

Желательно, но не обязательно. Но важнее другое: что именно из теории групп. Так вот, из теории групп нужны только совершенно примитивные ее аспекты. В основном теория представлений точечных групп (это не просто, а очень просто, см ЛЛ3). Ну, может, в кристаллофизике еще аналогичное про пространственные группы, что тоже во-первых не сложно, во-вторых не очень-то и надо. В КТП используются группы Ли, но из всей довольно обширной теории групп Ли используются только самые-самые начала, которые можно уложить на одной-двух страничках (см. КТП Вайнберга). Впрочем, в теории атома (и вообще там, где угловой момент) тоже возникает группа Ли. Но одна единственная: SO(3) (ну и накрывающая SU(2) заодним --- спин 1/2). Но опять же нужно очень и очень мало от общей теории. И вообще все это и так понятно, без теории групп.

[Sicker]

lel0lel в сообщении #1494496 писал(а):

только потом коллеги согласились, что она работает

$$g(n)=\sum\limits_{i_1=0}^{n}\sum\limits_{i_2=0}^{n-i_1}\sum\limits_{i_3=0}^{n-i_1-i_2}\ldots\sum\limits_{i_{k-1}=0}^{n-(i_1+\ldots+i_{k-2})}1={\binom {k+n-1}{n}}.$$

У меня получилось ${\binom {k-1}{n+k-1}}$
У вас же числитель больше знаменателя

-- 01.12.2020, 17:34 --

И что касательно темы, для меня квантмех это преимущественно теория групп и есть

[lel0lel]

Sicker в сообщении #1494785 писал(а):

У меня получилось ${\binom {k-1}{n+k-1}}$
У вас же числитель больше знаменателя

Эх, вот о том и речь. Не хватает физикам комбинаторики

[druggist]

KregSeptim в сообщении #1494367 писал(а):

посему ищу книжки/методички на "физическом уровне строгости"

Мигдал А.Б. Качественные методы в квантовой теории

Зельдович Я. Б., Яглом И. М. Высшая математика для начинающих физиков и техников

[Утундрий]

druggist в сообщении #1495118 писал(а):

Мигдал А.Б.

Искренне не советую.

[Icarus]

Утундрий в сообщении #1495131 писал(а):

Искренне не советую.

А почему?

[Утундрий]

Ну, ничего непоправимого она с читателем не сотворит, просто зря будет потеряно время. На мой субъективный скус, понятное дело.