Помогите с двумя задаками!

[Everest]

Очень прошу помогите решить 2 задачки:
1) Найти inf f, sup f, а также max fи min f, если они существуют
f(x)=8-2^{x+1}-4^x.
Вобщем то тут понятно, что sup f=8, а inf f=-\infty и что max fи min f не существует. А как это доказать?
Ну вот например:
Если \alpha=supX (соответственно \alpha=infX), то
1) для всех x \in X выполнятеся неравенство x \leqslant \alpha (соотвественно x \geqslant \alpha);
2) для любого \beta < \alpha (соответсвенно \beta > \alpha) существует такое, что x \in X, что x > \beta (соответственно x < \beta).
Ну вот во 2 пункте получается неравенство:
8-2^{x+1}-4^x> \beta или 8-2^{x+1}-4^x< \beta.
И получается дальше не понять что. Подскажите как это доказать и как доказать что не будет
max fи min f.
2) Доказать, что последовательность {b_n} отличных от нуля чисел является геометрическолй прогрессией тогда и только тогда, когда при каждом n \geqslant 3 выполняется равенство:
({b_1}^2+{b_2}^2+...+{b_{n-1}}^2)({b_2}^2+{b_3}^2+...+{b_{n}}^2)=(b_1b_2+b_2b_3+...+b_{n-1}b_n)^2.
Вот, я так понимаю надо доказывать в обе стороны, в сторону: это равенство выполнено, если это геометрическая прогрессия - вроде понятно, а с чего начинать доказывать в другую сторону?
Очень прошу подскажите мне! Буду очень благодарен!

[Nikita.bsu]

Во втором рассмотрим два вектора в $n - 1$ мерном пространстве. Вектор $a$ с координатами $b_1, b_2, ..., b_{n-1}$ и вектор $b$ с координатами $b_2, b_3, ... , b_n$. Имеющееся равенство перепишем ввиде ${\overrightarrow a} \cdot {\overrightarrow b} = \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|$, отсюда следует что угол между векторами = 0 и значит вектора коллинеарны, то есть верно${\overrightarrow b} = k \cdot {\overrightarrow a}$, откуда получим что $b_{i+1} = k \cdot b_i$

А для первого может поможет представление $f(x) = 9 - (2^x+1)^2$

[Everest]

Nikita.bsu, спасибо за второе, не доглядел я!
Насчет первого, если ли еще методы, которые связаны с прогрессиями, без использования аналитической геометрии, потому как задача на тему геометрическая и арифметическая прогрессия - одни из первых глав введения в математический анализ? Подскажите, пожалуйста!

[ewert]

Everest писал(а):

1) Найти inf f, sup f, а также max fи min f, если они существуют
f(x)=8-2^{x+1}-4^x.
Вобщем то тут понятно, что sup f=8, а inf f=-\infty и что max fи min f не существует. А как это доказать?

Не понял, в чём пафос. Функция же строго монотонна.

[gris]

При n=3 раскройте скобки, перенесите в левую сторону, сократите. Получим квадрат разности равен 0. Отсюда следует признак геометрической прогрессии для трех членов. Далее по индукции.

[Everest]

Спасибо большое всем! Я понял как решать!