Неравенство с модулем

[evgeniysmv]

В учебнике из неравенства $|g(x)-b|<|b|/2$ следует $b-|b|/2<g(x)<b+|b|/2$ , это понятно, но далее из данного неравенства следует $|g(x)|>|b|/2$. Не понятно, куда делось слагаемое $b$. Если раскрывать модуль, то получается два неравенства: $g(x)>|b|/2$ и $g(x)<-|b|/2$, как это связать с $b-|b|/2<g(x)<b+|b|/2$ ?

[alisa-lebovski]

evgeniysmv в сообщении #1494924 писал(а):

В учебнике из неравенства $|g(x)-b|<|b|/2$ следует $b-|b|/2<g(x)<b+|b|/2$

Так раскройте здесь обе стороны, в двух случаях, и поймете.

[ewert]

evgeniysmv в сообщении #1494924 писал(а):

$b-|b|/2<g(x)<b+|b|/2$ , это понятно, но далее из данного неравенства следует $|g(x)|>|b|/2$

Не следует. Т.е. при $b\geqslant0$ второе неравенство очевидным образом следует из первого, но при $b<0$ оно (второе) не менее очевидным образом неверно.

Можно предположить, что во втором неравенстве $|b|$ появился просто по рассеянности (если заменить его на просто $b$, то всё верно).

[Sender]

ewert в сообщении #1494994 писал(а):

при $b<0$ оно (второе) не менее очевидным образом неверно.

Хмм, вроде с неравенством всё в порядке. Модули - они такие, коварные.

[ewert]

Sender в сообщении #1494997 писал(а):

Хмм, вроде с неравенством всё в порядке.

Да, действительно, это уже я по рассеянности не обратил внимания на модуль слева.

Но тогда это всё выглядит как мышиная возня. Из исходного $|g(x)-b|<|b|/2$ нужное сразу следует просто по неравенству треугольника:

$|a+b|\leqslant|a|+|b|\ \Rightarrow\ |a|=|(a-b)+b|\leqslant|a-b|+|b|\ \Rightarrow\ |a-b|\geqslant|a|-|b|$
(между прочим, последний вариант неравенства треугольника тоже нужно помнить, не говоря уж о первом); у нас:

$\frac{|b|}2>|g(x)-b|\geqslant|b|-|g(x)|$, вот и всё.

[FEBUS]

Неравенства такого типа проще решать так:

\;\;$\quad$$| a|<|b|\Longleftrightarrow (a-b)(a+b)<0$.