2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Неравенство с модулем
Сообщение02.12.2020, 21:34 
В учебнике из неравенства $|g(x)-b|<|b|/2$ следует $b-|b|/2<g(x)<b+|b|/2$ , это понятно, но далее из данного неравенства следует $|g(x)|>|b|/2$. Не понятно, куда делось слагаемое $b$. Если раскрывать модуль, то получается два неравенства: $g(x)>|b|/2$ и $g(x)<-|b|/2$, как это связать с $b-|b|/2<g(x)<b+|b|/2$ ?

 
 
 
 Re: Неравенство с модулем
Сообщение02.12.2020, 21:57 
Аватара пользователя
evgeniysmv в сообщении #1494924 писал(а):
В учебнике из неравенства $|g(x)-b|<|b|/2$ следует $b-|b|/2<g(x)<b+|b|/2$
Так раскройте здесь обе стороны, в двух случаях, и поймете.

 
 
 
 Re: Неравенство с модулем
Сообщение03.12.2020, 11:08 
evgeniysmv в сообщении #1494924 писал(а):
$b-|b|/2<g(x)<b+|b|/2$ , это понятно, но далее из данного неравенства следует $|g(x)|>|b|/2$

Не следует. Т.е. при $b\geqslant0$ второе неравенство очевидным образом следует из первого, но при $b<0$ оно (второе) не менее очевидным образом неверно.

Можно предположить, что во втором неравенстве $|b|$ появился просто по рассеянности (если заменить его на просто $b$, то всё верно).

 
 
 
 Re: Неравенство с модулем
Сообщение03.12.2020, 11:28 
ewert в сообщении #1494994 писал(а):
при $b<0$ оно (второе) не менее очевидным образом неверно.

Хмм, вроде с неравенством всё в порядке. Модули - они такие, коварные. :-)

 
 
 
 Re: Неравенство с модулем
Сообщение03.12.2020, 11:48 
Sender в сообщении #1494997 писал(а):
Хмм, вроде с неравенством всё в порядке.

Да, действительно, это уже я по рассеянности не обратил внимания на модуль слева.

Но тогда это всё выглядит как мышиная возня. Из исходного $|g(x)-b|<|b|/2$ нужное сразу следует просто по неравенству треугольника:

$|a+b|\leqslant|a|+|b|\ \Rightarrow\ |a|=|(a-b)+b|\leqslant|a-b|+|b|\ \Rightarrow\ |a-b|\geqslant|a|-|b|$
(между прочим, последний вариант неравенства треугольника тоже нужно помнить, не говоря уж о первом); у нас:

$\frac{|b|}2>|g(x)-b|\geqslant|b|-|g(x)|$, вот и всё.

 
 
 
 Re: Неравенство с модулем
Сообщение03.12.2020, 14:33 
Аватара пользователя
Неравенства такого типа проще решать так:

\;\;$\quad$$| a|<|b|\Longleftrightarrow (a-b)(a+b)<0$.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group