Задача про собственные состояния операторов уничтожения.

[_Nika_]

Добрый день.
Не судите строго, но у меня возникли проблемы с решением нескольких задач.

Задача 1
Операторы рождения $ \hat \alpha^+ $ и уничтожения $ \hat \alpha $ удовлетворяют
алгебре Гейзенберга $ [\hat \alpha ,\hat \alpha^+]=I $, $ \hat \alpha ,\hat \alpha =\hat \alpha^+ $, $ \hat \alpha^+=0 $, где $ \hat \alpha \mid 0 \rangle $ , где $ \mid 0 \rangle $ - вакуумное состояние.
Когерентные состояния $ \mid \alpha \rangle $ можно получить,
действуя унитарным оператором сдвига $ D(\alpha)\mid 0 \rangle=\exp (\alpha \hat \alpha^+ -\alpha^* \hat \alpha) $ на вакуумное состояние $ |0 \rangle $, т.е.
$ |\alpha \rangle=D(\alpha)|0 \rangle= \exp (\alpha \hat \alpha^+ - \alpha^* \hat \alpha)|0\rangle $
Показать с помощью этого определения, что когерентные состояния также могут быть получены как собственные состояния оператора уничтожения $ \hat \alpha $, т.е
$ \hat \alpha|\alpha \rangle=\alpha|\alpha \rangle $.

Решение (явно в корне неверное, нет смысла искать ошибки.)

В моем понимании когерентное состояние это $|\alpha \rangle = e ^ \frac{-|\alpha|^2}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ \alpha^n}{\sqrt{n!}}|n \rangle $, где $ n $ , базис фоковских состояний который изменяется от 0 до $ \infty $

В вакуумном состоянии осцилляторы поля имеют нулевые энергии, как я понимаю, это и есть заданное в условии 0 состояние, то есть $ | vac \rangle $

Получаем, унитарный оператор смещения $ D ( \alpha ) $ действующий в вакууме
$ |\alpha \rangle = e ^\alpha \hat \alpha ^+ - \alpha ^\cdot \hat \alpha |0 \rangle = D( \alpha ) | 0 \rangle $


Далее, могу попробовать показать когерентное состояние оператора уничтожения, но необходимо другое.

Необходимо показать что собственные состояния оператора уничтожения $ \hat \alpha $ определяются равенством
$ \hat \alpha | \alpha \rangle = \alpha | \alpha \rangle $

Не представляю, как это сделать.


Задача 2
Когерентные состояния имеют вид
$ |\alpha \rangle = e^\frac { -\alpha\alpha^*}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ \alpha^n}{\sqrt{n!} |n \rangle } $
где $ \alpha $ - комплексное число.
Тогда $ \hat \alpha | \alpha \rangle = \alpha|\alpha \rangle $ (характеристическое уравнение),
$ \sum_{n=0}^{\infty}|n \rangle \langle n|=I$ и $ \hat n|n \rangle=\hat \alpha^\dagger \hat \alpha|n\rangle=n|n \rangle $

Вычислить
1.$ P_n=|\langle n|\alpha \rangle|^2 $
2.$ \langle \hat n \rangle =\langle \alpha | \hat n|\alpha \rangle$ , $ \langle \hat n^2 \rangle=\langle \alpha|\hat n^2| \alpha\rangle $ ,
3.$ \langle(\Delta \hat n)^2 \rangle= \langle(\hat n - \langle \hat n \rangle I)^2 \rangle $

Решение (явно неверное)
1.$ P_n=| \langle n | \alpha \rangle|^2 = e ^-^<^n^>\frac{ n^n}{n!} $
2.$ \langle \hat n \rangle = \langle \hat\alpha ^+ \cdot \hat\alpha \rangle = |\alpha|^2 $
3.$ \langle(\Delta \hat n)^2 \rangle = Var(\langle \hat\alpha^+ \cdot \hat\alpha \rangle) = |\alpha|^2$
P.S. Буду благодарна за любую помощь.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[lel0lel]

Давайте операторы рождения, уничтожения обозначать $\hat{a}, \hat{a}^{+}.$ Так привычнее.
Задача 1.
Тождество (Вейля):

$$\exp(\hat{A}+\hat{B})=\exp(\hat{A})\exp(\hat{B})\exp(-\hat{C}/2), \text{ где } \hat{C}=[\hat{A},\hat{B}].$$

Надеюсь на семинарах вам показали его удивительно элегантное доказательство. Тогда

$$\hat D(\alpha)=\exp(\alpha \hat{a}^+)\exp(-\alpha^* \hat{a})\exp(|\alpha|^2/2).$$

Итак, нам нужно показать, что $\hat a\hat D(\alpha) |0\rangle=\alpha \hat D(\alpha) |0\rangle.$ Идея стара как мир -- нужно вычислить коммутатор $[\hat a,\hat D(\alpha)]$. Это позволит вместо $\hat a\hat D(\alpha)|0\rangle$ записать $(\hat D(\alpha)\hat a+[\hat a,\hat D(\alpha)])|0\rangle=[\hat a,\hat D(\alpha)]|0\rangle$. Используя формулу Лейбница $[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$, а также формулу $[A,f(B)]=[A,B]f'(B)$ (в которой операторы $A, B$ должны быть такие, что $[A,[A,B]]=[B,[A,B]]=0$; как раз наш случай) получим
$[\hat a,\hat D(\alpha)]=\alpha \hat D(\alpha)$. Вот и всё.

Задача 2.

_Nika_ в сообщении #1494426 писал(а):

Вычислить
1.$ P_n=|\langle n|\alpha \rangle|^2 $
2.$ \langle \hat n \rangle =\langle \alpha | \hat n|\alpha \rangle$ , $ \langle \hat n^2 \rangle=\langle \alpha|\hat n^2| \alpha\rangle $ ,
3.$ \langle(\Delta \hat n)^2 \rangle= \langle(\hat n - \langle \hat n \rangle I)^2 \rangle $

1) Используйте $|\alpha\rangle=e^{-|\alpha|^2/2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\alpha^k}{\sqrt{k!}}|k\rangle$. Какой коэффициент "выживет" при вычислении скалярного произведения $\langle n|\alpha \rangle$ ?
2) Используйте $\hat a|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle$ и сопряжение $\langle\alpha|\hat a^+=\langle\alpha|\alpha^*$.
3) Вспомните как удобно вычислять дисперсию -- раскройте скобки. Всё необходимое уже вычислено во втором пункте.

[lel0lel]

С первой задачей перемудрил -- сложно получилось. Коммутатор $[\hat a,\exp(\alpha\hat a^+ -\alpha^* \hat a)]$ надо сразу вычислять с помощью производной, пользуясь теоремой немного модифицированной по сравнению с

lel0lel в сообщении #1494516 писал(а):

$[A,f(B)]=[A,B]f'(B)$ (в которой операторы $A, B$ должны быть такие, что $[A,[A,B]]=[B,[A,B]]=0$

Ещё кстати в формуле для $\hat D(\alpha)$ знак минус в последней экспоненте потерял. Должно быть так $\hat D(\alpha)=\exp(\alpha \hat{a}^+)\exp(-\alpha^* \hat{a})\exp(-|\alpha|^2/2).$

[Утундрий]

(Оффтоп)

КТП и смайлики? Ню-ню.

[Alex-Yu]

Утундрий в сообщении #1494529 писал(а):

КТП

Ну какая это КТП... Некоторые простые упражнения про осциллятор и все. Глауберовские состояния. До КТП отсюда как до Луны пешком

[_Nika_]

КТП - ? Интересно, но задачи немного иные.

И так, что у меня получилось.
Задача 1.
Рассмотрим коммутатор:
$[\hat \alpha (\alpha \hat \alpha^{+} - \alpha^{*} \hat \alpha )^n] \alpha n(\alpha \hat \alpha^{+} - \alpha^{*} \hat \alpha)^{n-1} , n =1,2 ... $

Имеем коммутационное соотношение:
$[\hat \alpha, D(\alpha)]= \alpha D(\alpha)$

$\hat \alpha|0 \rangle$ и учитывая коммутационное соотношение получим:
$0=D(\alpha) \hat \alpha |0 \rangle = (\hat \alpha - \alpha I)D(\alpha)|0 \rangle= (\hat \alpha - \alpha I)|\alpha \rangle$



Задача 2.
1. $\langle n | m \rangle = \delta_mn $
Распределение Пуассона
$P_n= \frac{(\alpha \alpha^{*})^{n}exp(-\alpha \alpha^{*})}{n!} $

2. $ \hat \alpha| \alpha \rangle $ отсюда $\langle \alpha| \hat \alpha^{+}=\langle \alpha| \hat \alpha^{*} $
получим

$$\langle \hat n \rangle =\langle \alpha| \hat \alpha ^{+}\hat \alpha|\alpha\rangle=\alpha\alpha^{*}$$

$$\hat \alpha \hat \alpha ^{+} = \hat \alpha ^{+} \hat \alpha+I $$

:

$$\langle \hat n^2 \rangle=(\alpha\alpha^{*})^2+\alpha\alpha^{*}$$

3. п.2 , получаем

$$\langle (\Delta \hat n)^2 \rangle := \langle (\hat n - \langle \hat n \rangle I)^2) \rangle = \alpha\alpha^{*} $$