Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N

[Andrey A]

scwec
Вопрос не из праздного любопытства, хотя интересно как это второй член последовательности взял да и потерялся ) Дело в том, что уравнение с квадратами связано с этим напрямую, причем нетривиальным образом. Запишем

$$\dfrac{x+y}{z}+\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{z+x}{y}=N\ \ \ (3),$$

и обозначим

$$\dfrac{X^2}{Y+Z}+\dfrac{Y^2}{Z+X}+\dfrac{Z^2}{X+Y}=F(X,Y,Z).$$

Тройку $(x,y,z)$ можно считать вз. простой, но для тройки $(X,Y,Z)$ это не так, поскольку $F(kX,kY,kZ)=kF(X,Y,Z).$ Более того, для произвольной вз. простой тройки $(A,B,C)$ однозначно определена несократимая дробь $\dfrac{P}{Q}=F(A,B,C)$ и бесконечная серия пропорциональных решений уравнения с квадратами $X=kAQ,Y=kBQ,Z=kCQ,N=kP$. Значит, чтобы найти все решения уравнения с квадратами, достаточно найти простые решения. Два таких находятся быстро: $F(2,2,2)=3,\ F(1,1,3)=5,$ но больше что-то не видать.

Сделаем замены: $X=\dfrac{l+m-n}{2},Y=\dfrac{m+n-l}{2},X=\dfrac{n+l-m}{2},$ где $l+m+n$ — четное. Тогда

$$F(X,Y,Z)=\dfrac{\left ( l+m+n \right )\left ( lm(l+m)+ln(l+n)+mn(m+n)-5lmn \right )}{4lmn}.$$

Требуется чтобы после сокращения числитель дроби оказался простым числом. Опуская незначительные детали, имеем два случая: 1) $l+m+n$ — удвоенное простое. 2) $l+m+n$ — учетверенное простое.

В первом случае получаем $ lm(l+m)+ln(l+n)+mn(m+n)-5lmn=2lmn$ или $lm(l+m)+ln(l+n)+mn(m+n)=7lmn$ или так: $\dfrac{l+m}{n}+\dfrac{m+n}{l}+\dfrac{n+l}{m}=7.$

Во втором случае соответственно $ lm(l+m)+ln(l+n)+mn(m+n)-5lmn=lmn$ или $lm(l+m)+ln(l+n)+mn(m+n)=6lmn$ или $\dfrac{l+m}{n}+\dfrac{m+n}{l}+\dfrac{n+l}{m}=6.$ Дело сводится к частным случаям уравнения $(3).$

scwec, теперь к Вам вопрос: найдутся ли для $N=7$ такие решения $(3)$, что $\dfrac{x+y+z}{2}$ простое? Или для $N=6$ (соответственно $\dfrac{x+y+z}{4}$ простое). О большем пока не загадываем*.
Если да, то тройка $X=\dfrac{x+y-z}{2},\ Y=\dfrac{y+z-x}{2},\ Z=\dfrac{z+x-y}{2}$ — простое решение уравнения с квадратами, и $F(kX,kY,kZ)=kP.$



*Тройка $(x,y,z)$ тут не обязательно вз. простая, возможно $\gcd (x,y,z)=2,4.$

[scwec]

Andrey A
Семёрка не попала в список, поскольку ранг кривой для $N=7$ равен нулю и рациональных точек бесконечного порядка на ней нет.
Однако, в отличие от всех других натуральных $N$, кроме шестерки, которая дает рациональную кривую, на ней 12 точек кручения (вместе с $\infty$)
Это $(0,0), (-20,\pm{60}), (-8,\pm{24}),(4,\pm{96}), (40,\pm{360}), (-5,0), (-32,0), \infty$ а на остальных кривых по $6$ точек кручения.
Вот эта разница и дает решения $(1,2,2), (1,2,1), (2,2,1), (1,1,2), (2,1,2), (2,1,1)$ уравнения $(3)$ при $N=7$.
Надо было, конечно, включить $7$ в список.
Что касается $N=6$, то исключая $(1,1,1)$, параметрическое решение здесь $x = -(2t+1)t(1+t), y = t(1-t), z = (2+t)(1+t)$. Дальше делайте выводы.

[Andrey A]

Выводы неутешительны. Бесконечная серия для $N=6$ ничего не меняет, поскольку тройка переменных $x,y,z$ не может быть положительна ни при каких условиях. Сам многочлен с квадратами принимает бесконечное множество целых положительных значений, но уже для $N=7$ уравнение с квадратами неразрешимо. Ладно, отрицательный результат — тоже результат.

[scwec]

Shadow в сообщении #1493312 писал(а):

Можно включить в списке и класику

Вот одно из натуральных решений уравнения ("класика") $\dfrac{x}{z+y}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}=4$

x = 184386514670723295219914666691038096275031765336404340516686430257803895506237580602582859039981257570380161221
662398153794290821569045182385603418867509209632768359835, 
y = 323434211538255923538806552852242633304519465734508471016452391470916385176512509402068536126067685441814153553
52136077327300271806129063833025389772729796460799697289,
z = 166664768654384498658461310953135315406476046796547668321096163873672039906427643422481005348075794938744539548
54925352739900051220936419971671875594417036870073291371.

Решение находится с помощью подходящих рациональных точек на эллиптической кривой
$w^2=u^3+109u^2+224u.$
Предлагаю найти решения в натуральных числах не такие громоздкие. Решений этого уравнения (класика) в натуральных числах не кратных друг другу бесконечное число.

[Shadow]

scwec в сообщении #1494687 писал(а):

Предлагаю найти решения в натуральных числах не такие громоздкие

scwec, ваше решение совпало с моим, хотя я не приводил кривую в форме Вейерштрасса. "Не такие громоздкие" вряд ли получися, наименьшее известное мне решение -80 значные числа, точка $9P$ на вашей кривой, где $P=(-100,260)$

Вот здесь

[nnosipov]

Хм, а мне казалось, что стартовую точку уже будет трудно найти. Т.е., это проще, чем найти рациональный прямоугольный треугольник площади $157$ (но я, честно говоря, не знаю, как это делается).

[scwec]

Shadow, действительно, наши решения совпали. Крайне редкий случай при наличии большого кол-ва решений в пределах вычислимости. Объясняется это всё же тем, что в обоих случаях, видимо, использовался один и тот же аппарат вычисления рациональных точек, эллиптическая кривая имеет ранг $1$ и генератор, вычисляемый Pari с помощью "ellgenerators", это $(-100,260)$
Но мне известны и другие решения, т.ч. и менее громоздкие.

$x= 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999$

$y = 36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579$

$z = 4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036$

$x,y,z$ попарно взаимно просты.
Другие, полученные мной решения, в 1,5 - 2 раза длиннее чем приведенное в моем предыдущем сообщении.
Получал решения минуя точку $(-100,260)$, 4-5 раз складывая другие точки на указанной выше эллиптической кривой так, чтобы попасть в диапазон $-56+28\sqrt{3}<u<-13/4$.
Вообще, чтобы находить рациональные точки с ограничениями, нужно запастись достаточным запасом рациональных точек без ограничений, например, с помощью "hyperellratpoints" из Pari и уже их комбинировать. Так и было мной сделано.
Однако, для уравнения $\frac{x}{y+z-x}+\frac{y}{x+z-y}+\frac{z}{x+y-z}=4$ дело обстоит проще.
Предлагаю найти натуральное решение для этого уравнения.

[Andrey A]

scwec в сообщении #1495325 писал(а):

$...\ \frac{x}{y+z-x}+\frac{y}{x+z-y}+\frac{z}{x+y-z}=4$

$x,y,z=(9,8,5).$

Подстановка $x=Y+Z,\ y=Z+X,\ z=X+Y$ ведет к уравнению $\frac{X+Y}{Z}+\frac{Y+Z}{X}+\frac{Z+X}{Y}=8.$ Недавно проходили.

[scwec]

Andrey A,
всё верно, но в виду имелся ответ $(3,4,5)$.
Вот ещё уравнение из этой серии
$\dfrac{x}{y+z-3x}+\dfrac{y}{z+x-3y}+\dfrac{z}{x+y-3z}=N^2$
Нужно доказать, что при любом целом $|N|>1$ уравнение имеет решение в натуральных $x,y,z$.

[scwec]

Чтобы не забыть.
После замены $z=1$ и Mapl'овской замены $x,y$ на $u,w$, исходное уравнение сводится к уравнению эллиптической кривой в Вейерштрассовой форме (одному из вида формы)
$w^2=u^3+(96+192N^2+64N^4)u^2-(1024N^2+768)u$.
Подходящая рациональная точка на ней $(u,w)=(-64N^4-48N^2, 64N(4N^2+3)(3N^2+1))$ и обратная замена $u,w$ на $x,y$ приводят
к решению исходного уравнения $\dfrac{x}{y+z-3x}+\dfrac{y}{z+x-3y}+\dfrac{z}{x+y-3z}=N^2$
$x = 6N^4-3N^3+5N^2-N+1$,
$y = 6N^4+3N^3+5N^2+N+1$,
$z = 2(2N^4+N^2+1)$

[scwec]

Интересно, что уравнение $\dfrac{x}{y+az}+\dfrac{y}{z+ax}+\dfrac{z}{x+ay}=N$
при целых $a\ne{0}$, $a\ne{1}$ и любых целых $N$ имеет решения в целых $x,y,z$.
Предлагается это доказать.
(При $a=1, N=4$ имеем уравнение по ссылке Shadow).

[scwec]

Ответ здесь простой.
$x=-a^2(Na^2+a^3+2)$
$y=a(Na^2+2a^3+1)$
$z=(a-1)(a^2+a+1)(a^3+Na^2+1)$
При $a=0,1$ в исходном уравнении $x+ay=0$, отсюда в условии $a\ne{0,1}$.
Решение исходного уравнения в натуральных числах $x,y,z$ - на любителя.