scwecВопрос не из праздного любопытства, хотя интересно как это второй член последовательности взял да и потерялся ) Дело в том, что уравнение с квадратами связано с этим напрямую, причем нетривиальным образом. Запишем
и обозначим
Тройку
можно считать вз. простой, но для тройки
это не так, поскольку
Более того, для произвольной вз. простой тройки
однозначно определена несократимая дробь
и бесконечная серия пропорциональных решений уравнения с квадратами
. Значит, чтобы найти все решения уравнения с квадратами, достаточно найти простые решения. Два таких находятся быстро:
но больше что-то не видать.
Сделаем замены:
где
— четное. Тогда
Требуется чтобы после сокращения числитель дроби оказался простым числом. Опуская незначительные детали, имеем два случая: 1)
— удвоенное простое. 2)
— учетверенное простое.
В первом случае получаем
или
или так:
Во втором случае соответственно
или
или
Дело сводится к частным случаям уравнения
scwec, теперь к Вам вопрос: найдутся ли для
такие решения
, что
простое? Или для
(соответственно
простое). О большем пока не загадываем*.
Если да, то тройка
— простое решение уравнения с квадратами, и
*Тройка
тут не обязательно вз. простая, возможно