2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение25.11.2020, 21:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
scwec
Вопрос не из праздного любопытства, хотя интересно как это второй член последовательности взял да и потерялся ) Дело в том, что уравнение с квадратами связано с этим напрямую, причем нетривиальным образом. Запишем $$\dfrac{x+y}{z}+\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{z+x}{y}=N\ \ \ (3),$$ и обозначим $$\dfrac{X^2}{Y+Z}+\dfrac{Y^2}{Z+X}+\dfrac{Z^2}{X+Y}=F(X,Y,Z).$$
Тройку $(x,y,z)$ можно считать вз. простой, но для тройки $(X,Y,Z)$ это не так, поскольку $F(kX,kY,kZ)=kF(X,Y,Z).$ Более того, для произвольной вз. простой тройки $(A,B,C)$ однозначно определена несократимая дробь $\dfrac{P}{Q}=F(A,B,C)$ и бесконечная серия пропорциональных решений уравнения с квадратами $X=kAQ,Y=kBQ,Z=kCQ,N=kP$. Значит, чтобы найти все решения уравнения с квадратами, достаточно найти простые решения. Два таких находятся быстро: $F(2,2,2)=3,\ F(1,1,3)=5,$ но больше что-то не видать.

Сделаем замены: $X=\dfrac{l+m-n}{2},Y=\dfrac{m+n-l}{2},X=\dfrac{n+l-m}{2},$ где $l+m+n$ — четное. Тогда $$F(X,Y,Z)=\dfrac{\left ( l+m+n \right )\left ( lm(l+m)+ln(l+n)+mn(m+n)-5lmn \right )}{4lmn}.$$

Требуется чтобы после сокращения числитель дроби оказался простым числом. Опуская незначительные детали, имеем два случая: 1) $l+m+n$ — удвоенное простое. 2) $l+m+n$ — учетверенное простое.

В первом случае получаем $ lm(l+m)+ln(l+n)+mn(m+n)-5lmn=2lmn$ или $lm(l+m)+ln(l+n)+mn(m+n)=7lmn$ или так: $\dfrac{l+m}{n}+\dfrac{m+n}{l}+\dfrac{n+l}{m}=7.$

Во втором случае соответственно $ lm(l+m)+ln(l+n)+mn(m+n)-5lmn=lmn$ или $lm(l+m)+ln(l+n)+mn(m+n)=6lmn$ или $\dfrac{l+m}{n}+\dfrac{m+n}{l}+\dfrac{n+l}{m}=6.$ Дело сводится к частным случаям уравнения $(3).$

scwec, теперь к Вам вопрос: найдутся ли для $N=7$ такие решения $(3)$, что $\dfrac{x+y+z}{2}$ простое? Или для $N=6$ (соответственно $\dfrac{x+y+z}{4}$ простое). О большем пока не загадываем*.
Если да, то тройка $X=\dfrac{x+y-z}{2},\ Y=\dfrac{y+z-x}{2},\ Z=\dfrac{z+x-y}{2}$ — простое решение уравнения с квадратами, и $F(kX,kY,kZ)=kP.$



*Тройка $(x,y,z)$ тут не обязательно вз. простая, возможно $\gcd (x,y,z)=2,4.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение26.11.2020, 11:59 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Andrey A
Семёрка не попала в список, поскольку ранг кривой для $N=7$ равен нулю и рациональных точек бесконечного порядка на ней нет.
Однако, в отличие от всех других натуральных $N$, кроме шестерки, которая дает рациональную кривую, на ней 12 точек кручения (вместе с $\infty$)
Это $(0,0), (-20,\pm{60}), (-8,\pm{24}),(4,\pm{96}), (40,\pm{360}), (-5,0), (-32,0), \infty$ а на остальных кривых по $6$ точек кручения.
Вот эта разница и дает решения $(1,2,2), (1,2,1), (2,2,1), (1,1,2), (2,1,2), (2,1,1)$ уравнения $(3)$ при $N=7$.
Надо было, конечно, включить $7$ в список.
Что касается $N=6$, то исключая $(1,1,1)$, параметрическое решение здесь $x = -(2t+1)t(1+t), y = t(1-t), z = (2+t)(1+t)$. Дальше делайте выводы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение26.11.2020, 14:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
Выводы неутешительны. Бесконечная серия для $N=6$ ничего не меняет, поскольку тройка переменных $x,y,z$ не может быть положительна ни при каких условиях. Сам многочлен с квадратами принимает бесконечное множество целых положительных значений, но уже для $N=7$ уравнение с квадратами неразрешимо. Ладно, отрицательный результат — тоже результат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение30.11.2020, 18:49 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Shadow в сообщении #1493312 писал(а):
Можно включить в списке и класику

Вот одно из натуральных решений уравнения ("класика") $\dfrac{x}{z+y}+\dfrac{y}{x+z}+\dfrac{z}{x+y}=4$
Код:
x = 184386514670723295219914666691038096275031765336404340516686430257803895506237580602582859039981257570380161221
662398153794290821569045182385603418867509209632768359835,
y = 323434211538255923538806552852242633304519465734508471016452391470916385176512509402068536126067685441814153553
52136077327300271806129063833025389772729796460799697289,
z = 166664768654384498658461310953135315406476046796547668321096163873672039906427643422481005348075794938744539548
54925352739900051220936419971671875594417036870073291371.

Решение находится с помощью подходящих рациональных точек на эллиптической кривой
$w^2=u^3+109u^2+224u.$
Предлагаю найти решения в натуральных числах не такие громоздкие. Решений этого уравнения (класика) в натуральных числах не кратных друг другу бесконечное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение04.12.2020, 12:33 


26/08/11
2100
scwec в сообщении #1494687 писал(а):
Предлагаю найти решения в натуральных числах не такие громоздкие

scwec, ваше решение совпало с моим, хотя я не приводил кривую в форме Вейерштрасса. "Не такие громоздкие" вряд ли получися, наименьшее известное мне решение -80 значные числа, точка $9P$ на вашей кривой, где $P=(-100,260)$

Вот здесь

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение04.12.2020, 12:52 
Заслуженный участник


20/12/10
9061
Хм, а мне казалось, что стартовую точку уже будет трудно найти. Т.е., это проще, чем найти рациональный прямоугольный треугольник площади $157$ (но я, честно говоря, не знаю, как это делается).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение04.12.2020, 20:27 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Shadow, действительно, наши решения совпали. Крайне редкий случай при наличии большого кол-ва решений в пределах вычислимости. Объясняется это всё же тем, что в обоих случаях, видимо, использовался один и тот же аппарат вычисления рациональных точек, эллиптическая кривая имеет ранг $1$ и генератор, вычисляемый Pari с помощью "ellgenerators", это $(-100,260)$
Но мне известны и другие решения, т.ч. и менее громоздкие.

$x= 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999$

$y = 36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579$

$z = 4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036$

$x,y,z$ попарно взаимно просты.
Другие, полученные мной решения, в 1,5 - 2 раза длиннее чем приведенное в моем предыдущем сообщении.
Получал решения минуя точку $(-100,260)$, 4-5 раз складывая другие точки на указанной выше эллиптической кривой так, чтобы попасть в диапазон $-56+28\sqrt{3}<u<-13/4$.
Вообще, чтобы находить рациональные точки с ограничениями, нужно запастись достаточным запасом рациональных точек без ограничений, например, с помощью "hyperellratpoints" из Pari и уже их комбинировать. Так и было мной сделано.
Однако, для уравнения $\frac{x}{y+z-x}+\frac{y}{x+z-y}+\frac{z}{x+y-z}=4$ дело обстоит проще.
Предлагаю найти натуральное решение для этого уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение04.12.2020, 21:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
scwec в сообщении #1495325 писал(а):
$...\ \frac{x}{y+z-x}+\frac{y}{x+z-y}+\frac{z}{x+y-z}=4$
$x,y,z=(9,8,5).$

Подстановка $x=Y+Z,\ y=Z+X,\ z=X+Y$ ведет к уравнению $\frac{X+Y}{Z}+\frac{Y+Z}{X}+\frac{Z+X}{Y}=8.$ Недавно проходили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение04.12.2020, 22:06 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Andrey A,
всё верно, но в виду имелся ответ $(3,4,5)$.
Вот ещё уравнение из этой серии
$\dfrac{x}{y+z-3x}+\dfrac{y}{z+x-3y}+\dfrac{z}{x+y-3z}=N^2$
Нужно доказать, что при любом целом $|N|>1$ уравнение имеет решение в натуральных $x,y,z$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение08.12.2020, 14:29 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Чтобы не забыть.
После замены $z=1$ и Mapl'овской замены $x,y$ на $u,w$, исходное уравнение сводится к уравнению эллиптической кривой в Вейерштрассовой форме (одному из вида формы)
$w^2=u^3+(96+192N^2+64N^4)u^2-(1024N^2+768)u$.
Подходящая рациональная точка на ней $(u,w)=(-64N^4-48N^2, 64N(4N^2+3)(3N^2+1))$ и обратная замена $u,w$ на $x,y$ приводят
к решению исходного уравнения $\dfrac{x}{y+z-3x}+\dfrac{y}{z+x-3y}+\dfrac{z}{x+y-3z}=N^2$
$x = 6N^4-3N^3+5N^2-N+1$,
$y = 6N^4+3N^3+5N^2+N+1$,
$z = 2(2N^4+N^2+1)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение19.12.2020, 23:17 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Интересно, что уравнение $\dfrac{x}{y+az}+\dfrac{y}{z+ax}+\dfrac{z}{x+ay}=N$
при целых $a\ne{0}$, $a\ne{1}$ и любых целых $N$ имеет решения в целых $x,y,z$.
Предлагается это доказать.
(При $a=1, N=4$ имеем уравнение по ссылке Shadow).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение26.12.2020, 19:44 
Заслуженный участник


17/09/10
2143
Ответ здесь простой.
$x=-a^2(Na^2+a^3+2)$
$y=a(Na^2+2a^3+1)$
$z=(a-1)(a^2+a+1)(a^3+Na^2+1)$
При $a=0,1$ в исходном уравнении $x+ay=0$, отсюда в условии $a\ne{0,1}$.
Решение исходного уравнения в натуральных числах $x,y,z$ - на любителя.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group