Физ-мат модель процесса очистки призабойной зоны пласта

[suharik]

Задача не по стандартным разделам физики, поэтому решил написать здесь.
В скважине когда-то делали ГРП. Со временем пропант вымывался из трещин, скапливался с глиной у перфорационных отверстий. Образовались пробки. Давление в скважине было $P_0=120$ кгс$/$см $2$. В скважине поднимают давление до $P_1=210 $ кгс$/$см $2$ и опускают прибор, который создает периодическое импульсное воздействие (гидроудары) с амплитудой $\Delta P = 80 $ кгс$/$см $2$ (то есть давление меняется от $210$ до $290 $ кгс$/$см $2$ ). Cначала раствор начинает уходить в пласт, а, когда закачку прекращают, скважина даже фонтанирует!
Требуется математически это обосновать. Я сделал решение ур-я пьезопроводности, пока одномерное. Могу и планирую сделать решение в трёхмерной области, но как его сюда прикрутить-не знаю. Представляю, что нужно сделать мат модель продавливания пробки из глины (или, хотя бы, из песка) в трещине гидроразрыва в пласт. Пытался сделать расчет пробки из песка, используя уравнение Мора-Кулона по книге Справочник по гидротехнике ВНИИ "ВОДГЕО" М, 1955 - 852с. но где-то ошибка: Пробка выходит очень короткая. Модель пробки брал такую:
В цилиндрическом канале располагается цилиндр из среднеразмерного песка. Торцевое сечение имеет площадь $S=\pi d^2/4$, боковая поверхность имеет площадь $S_{1}=\pi d \cdot L$. На торцы действует слева пластовое давление $P_1+\Delta P$, справа - $P_0$.
Модель Мора-Кулона: $\tau=\sigma\cdot\tg(\varphi)+c$, где $\tau$ - сдвигающее (касательное) напряжение, $\sigma$ - сжимающее нормальное напряжение, $c$ - сцепление, $\varphi$ - угол внутреннего трения (стр 437 книги, формула 15-22). Для песка $c=0$. $\sigma$ брал равным $\xi\cdot 0,5\cdot (P_1+P_0 )$, где $\xi$ - коэффициент бокового давления, формула 15-29 на стр 441, показывающий отношение приращения горизонтального давления к приращению вертикального (в ситуации, гогда на грунт давят грузом, а грунт под ним расходится в стороны). В случае пробки - давим с торцов напряжениями $P_1$ и $P_0$, и напряжение перераспределяется на боковую поверхность с коэфф. $\xi=0,35...0,42$ для песков (см там же). Угол внутреннего трения $\varphi = 35...40$ градусов (таблица 15-12 на стр 439).
Нескомпенсированная сила, действующая со стороны скважины на пробку в пике гидроудара $F=(P_1+\Delta P -P_0)\cdot \pi d^2/4$. Она должна быть больше, чем сила трения, удерживающая пробку: $F_{fr}=\tau \cdot S_{1}=\xi\cdot 0,5\cdot (P_1+P_0)\cdot\tg(\varphi) \cdot S_{1}=\xi\cdot 0,5\cdot (P_1+P_0)\cdot\tg(\varphi) \cdot \pi d \cdot L $. Итак, имеем неравенство $(P_1+\Delta P -P_0)\cdot \pi d^2/4 > \xi\cdot 0,5\cdot (P_1+P_0)\cdot\tg(\varphi) \cdot \pi d \cdot L $
Или для $L$: $L<\frac{(P_1+\Delta P -P_0)\cdot d/4}{\xi\cdot 0,5\cdot (P_1+P_0)\cdot\tg(\varphi)}$.
Подставим числа. С минимальными $\xi=0.35$, $\varphi = 35 $ градусов, $d=1$см имеем:
$L<\frac{(290-120)\cdot 0,01/4}{0,35\cdot 0,5(210+120)\cdot \tg(35)}=\frac{170 \cdot 0,0025}{0,35 \cdot 165 \cdot 0,7}\approx \frac{1}{400 \cdot 0,245}=\frac{1}{98}\approx 0,01$, то есть $L<0,01$ м. Пробка выходит очень короткая!
Есть ещё мысль №2 как-то применить закон сохранения импульса, наподобие опыта с шарами Ньютона: бъём по пробке слева, песчинки справа отлетают. Здесь затрудняюсь рассчитать импульс, передаваемый гидроударной волной пробке, $\Delta p=F \cdot \Delta t$ т.к. не знаю характерного времени процесса.
Можно было бы попробовать прикрутить решение уравнения Пьезопроводности, но его для такой задачи, как сдвигающаяся пробка, не знаю как решить. Учил, как решать задачи для простых областей с простыми НУ и ГУ.
Укажите, пожалуйста, ошибки в моих расчётах. Помогите поставить грамотно задачу и наметить путь к решению. Может быть, с вашей помощью - удастся.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Свободный полёт» в форум «Физика»

[StaticZero]

suharik в сообщении #1494610 писал(а):

Помогите поставить грамотно задачу и наметить путь к решению

У вас в голове есть наверное картинка какая-то, где задана геометрия задачи, где расставлены давления и в каких сечениях они действуют, что такое пробка, что такое конкретно угол внутреннего трения, что это за трение и т. д. А у нас -- нет. Пожелание.

(Хотя это может только я такой дурак, что мало что понял.)

[Xey]

suharik в сообщении #1494610 писал(а):

Пробка выходит очень короткая!

Так пробки наверно образуются не в скважине, а в перфорационных отверстиях, длина которых определяется толщиной стенки трубы.
Возможно похожая задача возникает в зернохранилищах. Попадалась статья о движении зерна в колоннах зернохранилища. Зерно иногда "залипает" в колоннах, образуя купол, хотя диаметр колонн несколько метров.

[suharik]

У меня пока такое примитивное представление о пробке:

В грубом приближении представляю перфорационный канал цилиндрическим, пробку - тоже. Пробка, для простоты, из песка средней крупности. Извините, когда писал первый пост, не увидел, как вставить картинку.
Ссылка на книгу Справочник по гидротехнике ВНИИ "ВОДГЕО" М, 1955 - 852с. https://yadi.sk/i/hRzU5eG1FfmUsQ

[suharik]

Тема всё ещё актуальна для меня.
Давайте, рассмотрим задачу - с какой силой нужно вдавливать клиновидную пробку в бутылку с шампанским, чтобы продавить её вовнутрь

У идеального клина $F_{fric}=0$, и $F_{B}=\frac{F_{A}}{\tg \alpha}$.
Для клина с трением вывел следующее:
Если клин удерживается силой трения, то $F_A=F_{fric} \cos \alpha$, см рисунок, т.к. проекция суммарной силы $F_S$ на ось $OX$ равна нулю.
По-идее, когда увеличиваем силу $F_{A}$ (выбиваем клин), будет расти $F_{fric}$ до величины $\sigma\cdot ( \tg \varphi ) +c $, а после - начнётся движение.
Тогда для такого клина в момент начала движения выводится:

$$F_{A}=(F_{S}-F_{fric}\sin (\alpha) ) \cdot \tg \alpha = $$

$$= \left\lbrace F_{S}-(\sigma\cdot ( \tg \varphi ) +c) \sin (\alpha) \right\rbrace \cdot \tg \alpha, $$

где $\sigma=F_{S} \cos (\alpha) $ - нормальная сила.

$$ F_{A}=\left\lbrace F_{S}-(F_{S} \cos (\alpha) \cdot ( \tg \varphi ) +c) \sin (\alpha) \right\rbrace \cdot \tg \alpha, $$

$$ F_{S} \left\lbrace 1-\cos \alpha \cdot \sin \alpha \cdot \tg ( \varphi) \right\rbrace=\frac{F_{A}}{\tg \alpha}+c \sin \alpha $$

$$ F_{S}=\frac{\frac{F_{A}}{\tg \alpha}+c \sin \alpha }{ \left(1-\cos \alpha \cdot \sin \alpha \cdot \tg ( \varphi) \right)}=\frac{F_{A}+c \cdot \sin \alpha \cdot \tg \alpha }{\tg \alpha-\sin ^2 \alpha \cdot \tg ( \varphi)}. $$

Можно что-нибудь из этого выжать ??

[vic.c]

Добрый день!

Если задача до сих пор актуальна, возможно вы не ту литературу брали за основу. Вариант подбора литературы по матмодели
'http://elar.nung.edu.ua/simple-search?filterquery=математична+модель&filtername=subject&filtertype=equals '
или список на английском
http://elar.nung.edu.ua/simple-search?f ... ype=equals
возможно будет более приемлим. Здесь, прада, часто украинский язык, но гугл переводчик может помочь да и у математики
язык кросснациональный. Впрочем и на русском работы встречаются: http://elar.nung.edu.ua/bitstream/12345 ... /1000p.pdf