2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Заряды через индуктивности
Сообщение29.11.2020, 09:30 


29/11/20
16
Добрый день! Прошу помочь с решением следующей задачки: требуется найти заряды, протекающие через индуктивности $L_1$ и $L_2$, если в момент замыкания ключа конденсатор был заряжен до напряжения $U_0$
Изображение
Я получил уравнения Кирхгоффа, они получились следующими:
Для контура $L_1\to R_1\to R_2\to L_2$:
$-L_1\frac{dI_1}{dt}+L_2\frac{dI_2}{dt}=R_1I_1-R_2I_2$
Для контура $C\to R_1\to L_1$:
$-L_1\frac{dI_1}{dt}=\frac{Q}{C}+R_1I_1$
Здесь $Q$ - заряд на конденсаторе, $Q_i$ - на $L_i$ и $I=\frac{dQ}{dt}, I_i=\frac{dQ_i}{dt}$.
Первое правило Кирхгоффа $I=I_1+I_2$.
Не могу понять что делать дальше. Решать эти уравнение мне сказали не нужно, нужно лишь что-то "заметить" а затем проинтегрировать один раз по $t$ от $0$ до $+\infty$ и соответственно получить ответы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряды через индуктивности
Сообщение29.11.2020, 10:42 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Примените вот этот совет:
Jaxel в сообщении #1494539 писал(а):
проинтегрировать один раз по $t$ от $0$ до $+\infty$

Вот к этому уравнению
Jaxel в сообщении #1494539 писал(а):
$-L_1\frac{dI_1}{dt}+L_2\frac{dI_2}{dt}=R_1I_1-R_2I_2$

Что получится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряды через индуктивности
Сообщение29.11.2020, 11:19 


29/11/20
16
EUgeneUS в сообщении #1494545 писал(а):
Примените вот этот совет:
Jaxel в сообщении #1494539 писал(а):
проинтегрировать один раз по $t$ от $0$ до $+\infty$

Вот к этому уравнению
Jaxel в сообщении #1494539 писал(а):
$-L_1\frac{dI_1}{dt}+L_2\frac{dI_2}{dt}=R_1I_1-R_2I_2$

Что получится?

Получу это:
$$-L_1(I_1(\infty)-I_1(0))+L_2(I_2(\infty)-I_2(0))=R_1(Q_1(\infty)-Q_1(0))-R_2(Q_2(\infty)-Q_2(0))$$
Как я понимаю, то мне нужно найти $Q_1(\infty)-Q_1(0)$ и $Q_2(\infty)-Q_2(0)$. Это как раз и будут заряды, протекающие через индуктивности. Но я не понимаю чему равны токи в нуле и бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряды через индуктивности
Сообщение29.11.2020, 11:31 


27/08/16
9426
Jaxel в сообщении #1494548 писал(а):
Но я не понимаю чему равны токи в нуле и бесконечности.
Вот тут и нужно немного подумать, какими они будут. И ещё подумать, какое есть ещё условие на протёкшие заряды?

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряды через индуктивности
Сообщение29.11.2020, 11:40 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
1. С зарядами просто $Q_{1,2}(0)=0$, потому что до момента включения никаких зарядов не прошло. Соответственно, $Q_{1,2}(\infty)$ и будут искомыми величинами.

2. Что касается токов.
а) Какие токи будут через бесконечное время? И почему? Это простой вопрос, ответ д.б. сразу.
б) Какие токи будут сразу после включения ключа? И почему? Это чуть более сложный вопрос. Если ответ не найдете сразу, то вспомните или найдите, так называемые "правила коммутации".

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряды через индуктивности
Сообщение29.11.2020, 11:56 


17/10/16
3894
EUgeneUS

(Оффтоп)

А мне тут нужно было "догадаться", что требуется найти суммарный заряд, протекший через индуктивности с учетом знака протекающего тока, а не по абсолютной величине.


-- 29.11.2020, 13:32 --

Jaxel
Если взять не два параллельных LR-плеча, а одно, то эта задача соответствует такой: шарик массой $m$ на пружинке жесткости $k$ с коэффициентом затухания $\beta$ отклонили от положения равновесия на расстояние $x$ и отпустили. Как далеко от положения $x$ окажется шарик через бесконечное время?

Да и с двумя плечами эта задача примерно так же звучит на языке механики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряды через индуктивности
Сообщение29.11.2020, 13:27 


29/11/20
16
EUgeneUS в сообщении #1494552 писал(а):
1. С зарядами просто $Q_{1,2}(0)=0$, потому что до момента включения никаких зарядов не прошло. Соответственно, $Q_{1,2}(\infty)$ и будут искомыми величинами.

2. Что касается токов.
а) Какие токи будут через бесконечное время? И почему? Это простой вопрос, ответ д.б. сразу.
б) Какие токи будут сразу после включения ключа? И почему? Это чуть более сложный вопрос. Если ответ не найдете сразу, то вспомните или найдите, так называемые "правила коммутации".


Могу предположить, что на бесконечности токи установятся $I_1(\infty)=I_2(\infty)=\frac{U_0}{R}$, где $R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$. А вот про токи в нуле пока все равно не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряды через индуктивности
Сообщение29.11.2020, 13:32 


27/08/16
9426
Jaxel в сообщении #1494560 писал(а):
Могу предположить, что на бесконечности токи установятся $I_1(\infty)=I_2(\infty)=\frac{U_0}{R}$
Нарисуйте, как этот ток будет течь в каждом проводнике на схеме. У вас пробел в школьных знаниях, для которых необходимо и достаточно лишь воображения. Представьте протекание тока в этой схеме для себя визуально, проверьте выполнение законов Кирхгофа..

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряды через индуктивности
Сообщение29.11.2020, 13:42 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Jaxel в сообщении #1494560 писал(а):
Могу предположить, что на бесконечности токи установятся $I_1(\infty)=I_2(\infty)=\frac{U_0}{R}$, где $R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$.


Это не верно. И вот почему: у нас же слева не источник ЭДС, который все время (в том числе бесконечное время) поддерживает одинаковую разность потенциалов, а конденсатор, с конечным зарядом и конечной энергией. А если токи будут постоянными на бесконечности, то какая энергия выделится на сопротивлениях?

Jaxel в сообщении #1494560 писал(а):
А вот про токи в нуле пока все равно не понимаю.

И-эх. Поищите в учебниках или в гугле, на крайний случай, "правила коммутации". Других подсказок не будет, так как сразу получается ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряды через индуктивности
Сообщение03.12.2020, 11:19 


29/11/20
16
Получается, что токи на индуктивностях в нуле, в силу закона коммутации, должны быть равны нулю? Ну и добавляя условие на протекшие заряды $Q_1(\infty)+Q_2(\infty)=CU_0$, получается ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряды через индуктивности
Сообщение03.12.2020, 11:29 


17/10/16
3894
Jaxel
Так какой ответ получается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряды через индуктивности
Сообщение03.12.2020, 11:59 


29/11/20
16
sergey zhukov в сообщении #1494999 писал(а):
Jaxel
Так какой ответ получается?

$Q_1=\frac{R_2U_0C}{R_1+R_2}$, $Q_2=\frac{R_1U_0C}{R_1+R_2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряды через индуктивности
Сообщение03.12.2020, 13:23 


17/10/16
3894
Jaxel
Верно. Заметили, что индуктивности вообще не вошли в ответ? Можете положить их равными нулю, все равно ответ будет тот же. А при нулевых индуктивностях ответ сразу очевиден.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряды через индуктивности
Сообщение03.12.2020, 14:56 


08/07/19
109
А давайте наоборот, одну индуктивность положим равной не нулю, а устремим к бесконечности. В цепи в любом случае возникнет колебательный процесс, или апериодический. Затухание до ничтожных значений тока произойдёт за ограниченное (конечное) время, а по ветви, где индуктивность стремится к бесконечности, ток не успеет развиться до значимых значений, даже если эту ветвь подключить к источнику постоянного напряжения на время переходного процесса затухания в цепи. Фактически, второй ветви будто и нет. В итоге, практически весь ток (заряд) пройдёт через меньшую индуктивность, а через большую ничтожное количество.
Это явно не соответствует приведённому решению задачи и окончательным формулам, в которые индуктивности не входят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряды через индуктивности
Сообщение03.12.2020, 15:31 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Prisma в сообщении #1495025 писал(а):
А давайте

А давайте одну индуктивность назначим нулём, а вторую - нет.
После чего повторим решение. Что-то изменится?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group