Заряды через индуктивности

[Jaxel]

Добрый день! Прошу помочь с решением следующей задачки: требуется найти заряды, протекающие через индуктивности $L_1$ и $L_2$, если в момент замыкания ключа конденсатор был заряжен до напряжения $U_0$

Я получил уравнения Кирхгоффа, они получились следующими:
Для контура $L_1\to R_1\to R_2\to L_2$:
$-L_1\frac{dI_1}{dt}+L_2\frac{dI_2}{dt}=R_1I_1-R_2I_2$
Для контура $C\to R_1\to L_1$:
$-L_1\frac{dI_1}{dt}=\frac{Q}{C}+R_1I_1$
Здесь $Q$ - заряд на конденсаторе, $Q_i$ - на $L_i$ и $I=\frac{dQ}{dt}, I_i=\frac{dQ_i}{dt}$.
Первое правило Кирхгоффа $I=I_1+I_2$.
Не могу понять что делать дальше. Решать эти уравнение мне сказали не нужно, нужно лишь что-то "заметить" а затем проинтегрировать один раз по $t$ от $0$ до $+\infty$ и соответственно получить ответы.

[EUgeneUS]

Примените вот этот совет:

Jaxel в сообщении #1494539 писал(а):

проинтегрировать один раз по $t$ от $0$ до $+\infty$

Вот к этому уравнению

Jaxel в сообщении #1494539 писал(а):

$-L_1\frac{dI_1}{dt}+L_2\frac{dI_2}{dt}=R_1I_1-R_2I_2$

Что получится?

[Jaxel]

EUgeneUS в сообщении #1494545 писал(а):

Примените вот этот совет:

Jaxel в сообщении #1494539 писал(а):

проинтегрировать один раз по $t$ от $0$ до $+\infty$

Вот к этому уравнению

Jaxel в сообщении #1494539 писал(а):

$-L_1\frac{dI_1}{dt}+L_2\frac{dI_2}{dt}=R_1I_1-R_2I_2$

Что получится?

Получу это:

$$-L_1(I_1(\infty)-I_1(0))+L_2(I_2(\infty)-I_2(0))=R_1(Q_1(\infty)-Q_1(0))-R_2(Q_2(\infty)-Q_2(0))$$

Как я понимаю, то мне нужно найти $Q_1(\infty)-Q_1(0)$ и $Q_2(\infty)-Q_2(0)$. Это как раз и будут заряды, протекающие через индуктивности. Но я не понимаю чему равны токи в нуле и бесконечности.

[realeugene]

Jaxel в сообщении #1494548 писал(а):

Но я не понимаю чему равны токи в нуле и бесконечности.

Вот тут и нужно немного подумать, какими они будут. И ещё подумать, какое есть ещё условие на протёкшие заряды?

[EUgeneUS]

1. С зарядами просто $Q_{1,2}(0)=0$, потому что до момента включения никаких зарядов не прошло. Соответственно, $Q_{1,2}(\infty)$ и будут искомыми величинами.

2. Что касается токов.
а) Какие токи будут через бесконечное время? И почему? Это простой вопрос, ответ д.б. сразу.
б) Какие токи будут сразу после включения ключа? И почему? Это чуть более сложный вопрос. Если ответ не найдете сразу, то вспомните или найдите, так называемые "правила коммутации".

[sergey zhukov]

EUgeneUS

(Оффтоп)

А мне тут нужно было "догадаться", что требуется найти суммарный заряд, протекший через индуктивности с учетом знака протекающего тока, а не по абсолютной величине.

-- 29.11.2020, 13:32 --

Jaxel
Если взять не два параллельных LR-плеча, а одно, то эта задача соответствует такой: шарик массой $m$ на пружинке жесткости $k$ с коэффициентом затухания $\beta$ отклонили от положения равновесия на расстояние $x$ и отпустили. Как далеко от положения $x$ окажется шарик через бесконечное время?

Да и с двумя плечами эта задача примерно так же звучит на языке механики.

[Jaxel]

EUgeneUS в сообщении #1494552 писал(а):

1. С зарядами просто $Q_{1,2}(0)=0$, потому что до момента включения никаких зарядов не прошло. Соответственно, $Q_{1,2}(\infty)$ и будут искомыми величинами.

2. Что касается токов.
а) Какие токи будут через бесконечное время? И почему? Это простой вопрос, ответ д.б. сразу.
б) Какие токи будут сразу после включения ключа? И почему? Это чуть более сложный вопрос. Если ответ не найдете сразу, то вспомните или найдите, так называемые "правила коммутации".

Могу предположить, что на бесконечности токи установятся $I_1(\infty)=I_2(\infty)=\frac{U_0}{R}$, где $R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$. А вот про токи в нуле пока все равно не понимаю.

[realeugene]

Jaxel в сообщении #1494560 писал(а):

Могу предположить, что на бесконечности токи установятся $I_1(\infty)=I_2(\infty)=\frac{U_0}{R}$

Нарисуйте, как этот ток будет течь в каждом проводнике на схеме. У вас пробел в школьных знаниях, для которых необходимо и достаточно лишь воображения. Представьте протекание тока в этой схеме для себя визуально, проверьте выполнение законов Кирхгофа..

[EUgeneUS]

Jaxel в сообщении #1494560 писал(а):

Могу предположить, что на бесконечности токи установятся $I_1(\infty)=I_2(\infty)=\frac{U_0}{R}$, где $R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$.

Это не верно. И вот почему: у нас же слева не источник ЭДС, который все время (в том числе бесконечное время) поддерживает одинаковую разность потенциалов, а конденсатор, с конечным зарядом и конечной энергией. А если токи будут постоянными на бесконечности, то какая энергия выделится на сопротивлениях?

Jaxel в сообщении #1494560 писал(а):

А вот про токи в нуле пока все равно не понимаю.

И-эх. Поищите в учебниках или в гугле, на крайний случай, "правила коммутации". Других подсказок не будет, так как сразу получается ответ.

[Jaxel]

Получается, что токи на индуктивностях в нуле, в силу закона коммутации, должны быть равны нулю? Ну и добавляя условие на протекшие заряды $Q_1(\infty)+Q_2(\infty)=CU_0$, получается ответ.

[sergey zhukov]

Jaxel
Так какой ответ получается?

[Jaxel]

sergey zhukov в сообщении #1494999 писал(а):

Jaxel
Так какой ответ получается?

$Q_1=\frac{R_2U_0C}{R_1+R_2}$, $Q_2=\frac{R_1U_0C}{R_1+R_2}$

[sergey zhukov]

Jaxel
Верно. Заметили, что индуктивности вообще не вошли в ответ? Можете положить их равными нулю, все равно ответ будет тот же. А при нулевых индуктивностях ответ сразу очевиден.

[Prisma]

А давайте наоборот, одну индуктивность положим равной не нулю, а устремим к бесконечности. В цепи в любом случае возникнет колебательный процесс, или апериодический. Затухание до ничтожных значений тока произойдёт за ограниченное (конечное) время, а по ветви, где индуктивность стремится к бесконечности, ток не успеет развиться до значимых значений, даже если эту ветвь подключить к источнику постоянного напряжения на время переходного процесса затухания в цепи. Фактически, второй ветви будто и нет. В итоге, практически весь ток (заряд) пройдёт через меньшую индуктивность, а через большую ничтожное количество.
Это явно не соответствует приведённому решению задачи и окончательным формулам, в которые индуктивности не входят.

[EUgeneUS]

Prisma в сообщении #1495025 писал(а):

А давайте

А давайте одну индуктивность назначим нулём, а вторую - нет.
После чего повторим решение. Что-то изменится?