произведение многочленов от простых чисел

[iwasawa]

Я новичок в русском языке, прошу прощения за грамматические ошибки. Какое точное значение(I mean "value") $\Pi_p \frac{1}{1-ap^2}$ когда $p$ промотать простые числа? Когда $a=1$ это $\frac{\pi^2}{6}$.

[Brukvalub]

У сходящегося бесконечного произведения его общий член должен стремиться к 1. Разве здесь это выполняется?

[DeBill]

Brukvalub
Видимо, имелось в виду $\prod\limits_{p}^{}\frac{1}{1-\frac{a}{p^2}}$ При $a=1$, разлагая множители в геометрическую прогрессию, после открытия скобок как раз и получим ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$. Но вот при прочих а - что-то сомнительно, что считается.

[Vince Diesel]

Это $L$-функция Дирихле. Для них есть какие-то тождества.

[RIP]

Vince Diesel в сообщении #1494260 писал(а):

Это $L$-функция Дирихле.

Нет, L-функция Дирихле получится только при $a=1$ (потому что при всех $p$ должно быть $\chi(p)=a$).

Ещё при $a=-1$ считается:

$$\prod_{p}\left(1+\frac{1}{p^2}\right)^{-1}=\frac{\zeta(4)}{\zeta(2)}=\frac{\pi^2}{15}.$$

Для остальных не знаю.