Емкость проводящего диска

[fred1996]

Вроде тут еще не решали.
Определить емкость диска радиуса $R$

[Утундрий]

Вижу возню с цилиндрическими функциями. Любопытно узнать, обладает ли автор неким не лобовым решением?

[fred1996]

Угу

[AnatolyBa]

А по моему решали, или что-то очень близкое.
Еще была странная полу-дискуссия на тему, что мол если шар сплющивать это одно, а если цилиндр, так это, якобы, совсем другое.

[fred1996]

Ну да, задача про распределение заряда на проводящем диске обсуждалась. А данная задача, это просто ее логическое завершение.
Просто недавно наткнулся на выражение для емкости диска, но не нашёл самого решения.
Короче, задачку выставил для того, чтобы была.

[Утундрий]

fred1996 в сообщении #1494302 писал(а):

недавно наткнулся на выражение для емкости диска, но не нашёл самого решения

См., например, ЛЛ т8 §4 Проводящий эллипсоид.

[fred1996]

Ну и чтобы завершить тему, приведу

(ответ)

$C=8R\varepsilon_0$
Промежуточный результат - распределение заряда на диске, как это обсуждалось ранее, находится с помощью пропорционального сплющивания сферы по оси $z$. Так, чтобы поверхностный заряд проецировался на плоскость $xy$ без изменения. Чисто геометрически доказывается, что при таком сплющивании поле внутри получившегося эллипсоида вращения оставалось нулевым. В пределе плотность заряда на диске считается простым проецированием.
$\sigma=\frac{2\sigma_0 R}{\sqrt{R^2-r^2}}$
Ну и вторая фаза: подсчёт потенциала в центре диска с помощью простого интегрирования. Поскольку в других точках потенциал тот-же. И никаких цилиндрических функций.

[drug39]

fred1996, это минимальная ёмкость $C=8R\varepsilon_0$.
Максимальная ёмкость $C=4\pi\varepsilon_0 R \dfrac {2\sqrt 2}{\pi+2\sqrt 2 -2}$.
Ещё, пишите правильно. Диск - это ведь нечто, имеющее толщину и профиль. У нас просто круг, проводящий круг. И задача называется о ёмкости уединённого проводящего круга.

[Утундрий]

drug39
Разве ёмкость не однозначная функция геометрии проводника?

[drug39]

Утундрий в сообщении #1494512 писал(а):

Разве ёмкость не однозначная функция геометрии проводника?

В данном случае геометрия проводника не определена. А именно, не определён профиль диска. Если взять сплюснутый эллипсоид вращения, то ответ, приведённый fred1996, правильный. Но профиль может быть другой, например, прямоугольный.

[Утундрий]

Что же, выглядит правдоподобно. Ещё одна некорректная задача. Фтопку.

[amon]

Утундрий в сообщении #1494518 писал(а):

Ещё одна некорректная задача.

Да нет, двумерная задача, в отличии от одномерной, вполне себе корректная.

[Утундрий]

amon в сообщении #1494520 писал(а):

двумерная задача, в отличии от одномерной, вполне себе корректная.

Ну а drug39 утверждает, что нет. Вон, даже из цилиндра другую ёмкость, вроде бы, получил.

[amon]

Утундрий в сообщении #1494521 писал(а):

Вон, даже из цилиндра другую ёмкость, вроде бы, получил.

Пусть сначала получит. Двумерная задача, как я помню, сводится к человеческому (в смысле, корректному без упражнений с шаманским бубном) интегральному уравнению, правда, с сингулярным ядром.

[drug39]

Утундрий в сообщении #1494521 писал(а):

Вон, даже из цилиндра другую ёмкость, вроде бы, получил.

Я привёл формулу для максимальной ёмкости. Это соответствует гантелевидному профилю. Для цилиндра формулу не знаю. Похоже, эта ёмкость между минимальной и максимальной.