Снегопад

[Verkhovtsev]

Из закромов вытащил. Задача простенькая, на арифметику, но приятная.

Снегопад в городе начался еще до полудня и продолжался с одинаковой скоростью (по толщине) до вечера. Ровно в полдень бригада студентов вышла на дорогу и приступила к уборке снега. За первые 2 часа студенты студенты продвинулись на 2 км, но за последующие 2 часа - только на 1 км. Студенты работали с одинаковой скоростью (по объему) и продвигались только вперед. В котором часу начался снегопад?

[rascas]

Verkhovtsev в сообщении #1493908 писал(а):

В котором часу начался снегопад?

(Оффтоп)

10:46

[wrest]

(Оффтоп)

Тут ведь предполагается, что на уже пройденную территорию снег не падает/снег не убирают.
В этом смысле задача не жинзненная, имхо. Надо добавить что-то вроде "ровно в 16:00 снег прекратился, после чего студенты развернулись и стали убирать снег, нападавший во время уборки. В котором часу наалася снегопад? В котором часу закончилась уборка?"

[HungryLion]

А "на арифметику" - это образно?
А то у меня без интегралов с логарифмами не получается.

[StaticZero]

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1493925 писал(а):

снег не убирают.
В этом смысле задача не жинзненная

Будем считать, что снегопад начался в январе, и для городских служб это стало полной неожиданностью.

[Verkhovtsev]

wrest в сообщении #1493925 писал(а):

В этом смысле задача не жинзненная, имхо.

Можно добавить жизненности задаче, предварив ее утверждением "в городе N неожиданно выпал снег..." )))
Под катом авторское решение, привожу дословно.

(Оффтоп)

Пусть $h_0 -$ высота снежного покрова к моменту начала уборки, $h_1 -$ высота снежного покрова, выпадающего за единицу времени. Заметим, что при этом $t_1=\frac{h_0}{h_1}$ есть продолжительность снегопада до начала уборки. Высота снежного покрова на неубранном участке к моменту времени $t,$ будет равна $h(t) = h_0+h_1 t,$ и так как скорость продвижения бригады в процессе уборки снега обратно пропорциональна высоте снежного покрова, то она равна $v(t) = \frac{k}{h_0+h_1t}.$ Длина участка дороги убранного за первые два часа в два раза больше длины участка, убранного за последующие два часа, что равносильно условию:

$$\int_0^2 \frac{kdt}{h_0+h_1t} =2\int_2^4 \frac{kdt}{h_0+h_1t}.$$

Из последнего равенства последовательно получаем:

$$\ln\left(\frac{h_0+2h_1}{h_0}\right) = 2\ln\left(\frac{h_0+4h_1}{h_0+2h_1}\right),$$

$$1+\frac 2{t_1} = \left(\frac{t_1+4}{t_1+2}\right)^2, t_1=\sqrt{5}-1.$$

Таким образом, снегопад начался в момент времени $12-(\sqrt 5 -1) = 13-\sqrt 5\approx 10,75,$ т.е. приблизительно в 10 часов 45 минут.
Ответ: в 11 ч.

-- 25.11.2020, 22:14 --

HungryLion в сообщении #1493975 писал(а):

А "на арифметику" - это образно?

Да.

[StaticZero]

Verkhovtsev, вы меня обманули словом "арифметика", я много времени потратил на то, чтобы найти простое решение буквально на пальцах, ну допустим которое скажет, что прошло "чуть более" часа с момента начала снегопада или что-то ещё такое

[wrest]

Да, "некрасивый" ответ (да и решение), без "изюминки", на олимпиаду "не тянет", имхо.

[Verkhovtsev]

Я эту задачу откопал когда-то давно из глубин моего компьютера, из папки, посвященной студенческому Всеросу по математике 1999 года. Что очень странно, потому что, насколько я знаю, в 1999 не существовало никакого студенческого Всероса по математике. Тем не менее, у меня были все задачи этой олимпиады с 1997 по 2015 годы включительно) В компьютере чего только не было, потому что часто обменивался с коллегами материалами.

[rascas]

Мне понравилась это задача. Простое, ясное, бесхитростное условие. Задача на первый взгляд выглядит как для ученика начальной школы (отсюда возможно и "арифметика"), но по мере получения точного решения выясняется, что необходимы знания логарифмов, интегралов, квадратных уравнений.
Спасибо Verkhovtsev

[EzikBro]

На самом деле задачу можно понять сильно иначе, особенно когда упоминается, что задача "простенькая, на арифметику".
Если предположить, что студенты не просто идут толпою вперед, убирая снег, а убираются на всей площади фиксированной ширины и длины 2 и 3 км соответственно, то можно составить простейшую систему уравнений:

$v$ - скорость уборки, в [ширина] $\cdot$ [1 км] $\cdot$ [прирастание толщины снега в час] объемах за час.
$x$ - время, которое шел снег до полудня, в часах

$\left\{ \begin{array}{rcl} 2v=w \cdot 2 км \cdot (2 + x) \\ 4v=w \cdot 3 км \cdot (4 + x) \\ \end{array} \right.$

То есть, $w \cdot (8 + 4x) = w \cdot (12 + 3x)$, откуда $x = 4 часа$.

Когда я увидел такой красивый ответ, то решил и не думать ни о каких интегралах. Решил, что это задачка "на дурачка", который сам себя запутает.