2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Снегопад
Сообщение24.11.2020, 03:29 


30/09/20
78
Из закромов вытащил. Задача простенькая, на арифметику, но приятная.

Снегопад в городе начался еще до полудня и продолжался с одинаковой скоростью (по толщине) до вечера. Ровно в полдень бригада студентов вышла на дорогу и приступила к уборке снега. За первые 2 часа студенты студенты продвинулись на 2 км, но за последующие 2 часа - только на 1 км. Студенты работали с одинаковой скоростью (по объему) и продвигались только вперед. В котором часу начался снегопад?

 Профиль  
                  
 
 Re: Снегопад
Сообщение24.11.2020, 11:20 


30/01/18
577
Verkhovtsev в сообщении #1493908 писал(а):
В котором часу начался снегопад?

(Оффтоп)

10:46

 Профиль  
                  
 
 Re: Снегопад
Сообщение24.11.2020, 11:29 


05/09/16
11467

(Оффтоп)

Тут ведь предполагается, что на уже пройденную территорию снег не падает/снег не убирают.
В этом смысле задача не жинзненная, имхо. Надо добавить что-то вроде "ровно в 16:00 снег прекратился, после чего студенты развернулись и стали убирать снег, нападавший во время уборки. В котором часу наалася снегопад? В котором часу закончилась уборка?"

 Профиль  
                  
 
 Re: Снегопад
Сообщение24.11.2020, 17:52 


31/05/11
28
А "на арифметику" - это образно?
А то у меня без интегралов с логарифмами не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Снегопад
Сообщение24.11.2020, 19:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1493925 писал(а):
снег не убирают.
В этом смысле задача не жинзненная

Будем считать, что снегопад начался в январе, и для городских служб это стало полной неожиданностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Снегопад
Сообщение25.11.2020, 15:12 


30/09/20
78
wrest в сообщении #1493925 писал(а):
В этом смысле задача не жинзненная, имхо.

Можно добавить жизненности задаче, предварив ее утверждением "в городе N неожиданно выпал снег..." )))
Под катом авторское решение, привожу дословно.

(Оффтоп)

Пусть $h_0 -$ высота снежного покрова к моменту начала уборки, $h_1 -$ высота снежного покрова, выпадающего за единицу времени. Заметим, что при этом $t_1=\frac{h_0}{h_1}$ есть продолжительность снегопада до начала уборки. Высота снежного покрова на неубранном участке к моменту времени $t,$ будет равна $h(t) = h_0+h_1 t,$ и так как скорость продвижения бригады в процессе уборки снега обратно пропорциональна высоте снежного покрова, то она равна $v(t) = \frac{k}{h_0+h_1t}.$ Длина участка дороги убранного за первые два часа в два раза больше длины участка, убранного за последующие два часа, что равносильно условию: $$\int_0^2 \frac{kdt}{h_0+h_1t} =2\int_2^4 \frac{kdt}{h_0+h_1t}.$$
Из последнего равенства последовательно получаем:
$$\ln\left(\frac{h_0+2h_1}{h_0}\right) = 2\ln\left(\frac{h_0+4h_1}{h_0+2h_1}\right),$$
$$1+\frac 2{t_1} = \left(\frac{t_1+4}{t_1+2}\right)^2, t_1=\sqrt{5}-1.$$
Таким образом, снегопад начался в момент времени $12-(\sqrt 5 -1) = 13-\sqrt 5\approx 10,75,$ т.е. приблизительно в 10 часов 45 минут.
Ответ: в 11 ч.


-- 25.11.2020, 22:14 --

HungryLion в сообщении #1493975 писал(а):
А "на арифметику" - это образно?

Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Снегопад
Сообщение25.11.2020, 15:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Verkhovtsev, вы меня обманули словом "арифметика", я много времени потратил на то, чтобы найти простое решение буквально на пальцах, ну допустим которое скажет, что прошло "чуть более" часа с момента начала снегопада или что-то ещё такое :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Снегопад
Сообщение25.11.2020, 16:04 


05/09/16
11467
Да, "некрасивый" ответ (да и решение), без "изюминки", на олимпиаду "не тянет", имхо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Снегопад
Сообщение25.11.2020, 16:44 


30/09/20
78
Я эту задачу откопал когда-то давно из глубин моего компьютера, из папки, посвященной студенческому Всеросу по математике 1999 года. Что очень странно, потому что, насколько я знаю, в 1999 не существовало никакого студенческого Всероса по математике. Тем не менее, у меня были все задачи этой олимпиады с 1997 по 2015 годы включительно) В компьютере чего только не было, потому что часто обменивался с коллегами материалами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Снегопад
Сообщение25.11.2020, 17:41 


30/01/18
577
Мне понравилась это задача. Простое, ясное, бесхитростное условие. Задача на первый взгляд выглядит как для ученика начальной школы (отсюда возможно и "арифметика"), но по мере получения точного решения выясняется, что необходимы знания логарифмов, интегралов, квадратных уравнений.
Спасибо Verkhovtsev

 Профиль  
                  
 
 Re: Снегопад
Сообщение25.11.2020, 19:18 


09/05/19
6
На самом деле задачу можно понять сильно иначе, особенно когда упоминается, что задача "простенькая, на арифметику".
Если предположить, что студенты не просто идут толпою вперед, убирая снег, а убираются на всей площади фиксированной ширины и длины 2 и 3 км соответственно, то можно составить простейшую систему уравнений:

$v$ - скорость уборки, в [ширина] $\cdot$ [1 км] $\cdot$ [прирастание толщины снега в час] объемах за час.
$x$ - время, которое шел снег до полудня, в часах

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 2v=w \cdot 2 км \cdot (2 + x) \\
 4v=w \cdot 3 км \cdot (4 + x) \\
\end{array}
\right.$

То есть, $w \cdot (8 + 4x) = w \cdot (12 + 3x)$, откуда $x = 4 часа$.

Когда я увидел такой красивый ответ, то решил и не думать ни о каких интегралах. Решил, что это задачка "на дурачка", который сам себя запутает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group