Задача по тригонометрии со вступительного в МГУ

[ShMaxG]

DeBill в сообщении #1494015 писал(а):

Почему???

Да, и правда не очевидно, потому что может быть, что один косинус отрицательный, а другой положительный. Но вроде бы там все равно все разрешается, я поправил свое решение, хотя оно конечно не такое элегантное как Ваше

[alisa-lebovski]

ShMaxG в сообщении #1494031 писал(а):

я поправил свое решение

Только в первом случае зря первый знак неравенства поменяли.

[ShMaxG]

alisa-lebovski
Спасибо, поправил. Ну в общем я надеюсь, что суть решения ясна Там всюду помогают связи $\cos{2\alpha}$ и $\cos{3\alpha}$ с $\cos{\alpha}$.

[superior]

ShMaxG
Большое спасибо за помощь! Я разобрался в решении. Восхитился тем, как вы заметили такое разложение на сумму двух неотрицательных скобок.

Пожалуйста, объясните мне как вы расставляли строгие/нестрогие неравенства при рассмотрении случаев оценки? Или это не принципиально?

-- 25.11.2020, 14:00 --

DeBill

Большое спасибо за помощь! Я разобрался в вашем решении. Очень изящное.

-- 25.11.2020, 14:01 --

alisa-lebovski
Большое спасибо за помощь!

-- 25.11.2020, 14:02 --

-- 25.11.2020, 14:09 --

EUgeneUS в сообщении #1493973 писал(а):

superior в сообщении #1493957 писал(а):

По сути вступительных испытаний, задача должна решаться без применения производных,

Странно. Вообще-то понятие производной дается ещё в школе.

Очень часто сталкивался с тем, что на олимпиадах по математике не засчитывают в полный балл решение через производные, если присутствует "более изящное решение".
Здесь случай не тот, это вступительный экзамен, и применять производную было можно.

Однако деление многочлена на многочлен не дало ничего хорошего.

Спасибо!

[ShMaxG]

superior в сообщении #1494075 писал(а):

Большое спасибо за помощь! Я разобрался в решении. Восхитился тем, как вы заметили такое разложение на сумму двух неотрицательных скобок.
Пожалуйста, объясните мне как вы расставляли строгие/нестрогие неравенства при рассмотрении случаев оценки? Или это не принципиально?

Расстановка строгих и нестрогих неравенств не принципиальна, просто немножко по-разному придется обосновывать тот или иной пункт. Чисто техническая небольшая возня, главное все случаи рассмотреть и ничего не забыть, особенно когда что-то нулю равно.

Что касается разложения на скобки, я делал это целенаправленно. Ну в самом деле, что может делать школьник в этой задаче? Использовать формулы двойных/тройных углов и всякие суммы косинусов. Я тоже пробовал доводить до высокой степени, но там ничего не проглядывалось. Потом стал суммировать косинусы. Ну, косинусы с разными коэффициентами мы суммировать не умеем, поэтому будем отщиплять от каждого слагаемого столько, сколько надо для суммы с другим косинусом, ну и еще так, чтобы дробные всякие аргументы не появлялись. В моем случае нужно было от $4\cos{4\alpha}$ оторвать один и три, один пойдет на сумму с $\cos{8\alpha}$, а другие три на сумму $7\cos{2\alpha}$, от которого тоже надо оторвать 3 и 4. У меня ушло где-то 5 минут попыток на эти игры с буквами, чтобы прийти к нужному выражению. Кстати DeBill тоже так сделал, сгруппировал нужным образом слагаемые. Кроме того, мне хотелось выделить полные квадраты или что-то положительное, про что ясно, что оно больше нуля. Не выделил, ну и ладно. Основная идея в этой задаче мне кажется это изучить сумму $\cos{2x}+2\cos{x}$ и вообще связь между этими косинусами. Этим я в своем решении активно пользовался.

[superior]

ShMaxG
Спасибо! Я разобрался.