2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Параболическое уравнение с возмущенным оператором
Сообщение21.11.2020, 18:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Пусть $A \colon \mathcal{D}(A) \subset \mathbb{H} \to \mathbb{H}$ есть самосопряженный положительно-определенный оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве $\mathbb{H}$ и такой, что $A^{-1} \colon \mathbb{H} \to \mathbb{H}$ компактен. Рассмотрим шкалу гильбертовых пространств $\mathbb{H}_{\alpha} := \mathcal{D}(A^{\alpha})$ с естественным скалярным произведением. Нам будут интересны $\alpha \in [0,1)$. Хорошо известно, что $-A$ порождает $C_{0}$ полугруппу $G(t)$ в каждом из пространств $\mathbb{H}_{\alpha}$. Рассмотрим теперь ограниченный оператор $K \colon \mathbb{H}_{\alpha} \to \mathbb{H}$. Меня интересуют свойства оператора $-A+K$ и задачи Коши для уравнения $\dot{v}(t)=(-A+K)v(t)$.

Тут сразу можно показать, используя сглаживающую оценку $$\| G(t) \|_{\mathbb{H} \to \mathbb{H}_{\alpha}} \leq \left(\frac{\alpha}{e}\right)^{\alpha} t^{-\alpha},$$ что оператор $-A+K$ порождает $C_{0}$-полугруппу $G_{K}(t)$ в $\mathbb{H}_{\alpha}$ такую, что
$$G_{K}(t)v_{0} = G(t)v_{0} + \int_{0}^{t} G(t-s)KG_{K}(s)v_{0}ds.$$

Вопрос 1. В каких случаях $-A+K$ также порождает $C_{0}$-полугруппу в $\mathbb{H}$? Тут я не смог придумать ничего лучше, чем потребовать, чтобы $K$ коммутировал с $G(t)$ в смысле $G(t)K=KG(t)$. Тогда опять можно использовать формулу выше и сглаживающую оценку для определения $G_{K}(t)$ (получить оценку $|G_{K}(t)v|_{\mathbb{H}} \leq C |v|_{\mathbb{H}}$ для $v \in \mathbb{H}_{\alpha}$, а дальше продолжить в $\mathbb{H}$ по непрерывности). Типичный пример: $-A=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}$ с однородными условиями Дирихле на $[0,1]$ и $K=\frac{\partial}{\partial x}$ при $\alpha = 1/2$. Есть ли более общие условия?

Вопрос 2. Что можно сказать про область определения $-A+K$ как генератора $C_{0}$-полугруппы в $\mathbb{H}$ (если он её порождает конечно). Я вроде бы умею доказывать, что $\mathcal{D}(A)$ лежит и плотно в $\mathcal{D}(-A+K)$ в норме графика $-A+K$ (которая слабее чем норма графика $A$). Действительно ли бывают случаи, когда $\mathcal{D}(-A+K)$ не совпадает с $\mathcal{D}(A)$ (или, что равносильно, нормы графиков $A$ и $-A+K$ не эквивалентны)?

Вопрос 3. Что можно сказать про спектр оператора $-A+K$ как генератора $C_{0}$-полугруппы в пространствах $\mathbb{H}$ и $\mathbb{H}_{\alpha}$. Одинаков ли он для обоих пространств? Будет ли он также как и у $A$ состоять из собственных значений?

-- 21.11.2020, 20:19 --

demolishka в сообщении #1493601 писал(а):
Что можно сказать про область определения $-A+K$ как генератора $C_{0}$-полугруппы в $\mathbb{H}$

Здесь наверное можно так: уравнение $(-A-pI+K)v = w$ при $p$ не из спектра $-A$ можно переписать как $v=(A+pI)^{-1}Kv + (A+pI)^{-1}w$. Тогда оно однозначно разрешимо в $v \in \mathcal{D}(A)=\mathbb{H}_{1}$ при всех $w \in \mathbb{H}$ если выполнено $\|(A+pI)^{-1}\|_{\mathbb{H} \to \mathbb{H}_{1}} \cdot \| K \|_{\mathbb{H}_{\alpha} \to \mathbb{H}} < 1$. Это условие выполнено для $p=\nu + i\omega$ когда $\omega$ достаточно велико и $\nu$ больше показателя роста полугруппы $G_{K}(t)$ в $\mathbb{H}$ (чтобы точно попасть в резольвентное множество). Раз нам для обращения достаточно брать $v \in \mathcal{D}(A)$, а меньше быть не может, то $\mathcal{D}(A)=\mathcal{D}(-A+K)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параболическое уравнение с возмущенным оператором
Сообщение24.11.2020, 10:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
demolishka в сообщении #1493601 писал(а):
Вопрос 3. Что можно сказать про спектр оператора

Если $K \mathbb{H}_{1+\alpha} \subset \mathbb{H}_{\alpha}$, то аналогично замечанию выше можно показать, что генератор $G_{K}(t)$ в $\mathbb{H}_{\alpha}$ это $-A+K$ с областью определения $\mathbb{H}_{1+\alpha}$. Тогда резовельнта генераторов в $\mathbb{H}$ и $\mathbb{H}_{\alpha}$ компактна в силу компактности вложений $\mathbb{H}_{1} \subset \mathbb{H}$ и $\mathbb{H}_{1+\alpha} \subset \mathbb{H}_{\alpha}$ и спектр дискретный. Отсюда легко получить совпадение спектров т. к. собственные векторы лежат в $\mathbb{H}_{\infty} = \bigcap_{\alpha > 0} \mathbb{H}_{\alpha}$.

demolishka в сообщении #1493601 писал(а):
Вопрос 1. В каких случаях $-A+K$ также порождает $C_{0}$-полугруппу в $\mathbb{H}$?

Здесь можно еще добавить случай, когда $K$ продолжается до ограниченного оператора в $\mathbb{H} \to \mathbb{H}$ и случай суммы такого ограниченного и коммутирующего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параболическое уравнение с возмущенным оператором
Сообщение06.12.2020, 16:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
demolishka в сообщении #1493601 писал(а):
В каких случаях $-A+K$ также порождает $C_{0}$-полугруппу в $\mathbb{H}$?

На самом деле всегда. Так как $|Kv| \leq C |A^{\alpha}v| \leq \varepsilon C |Av| + K(C,\varepsilon) |v|$ в силу интерполяционного тождества и неравенства Юнга. Отсюда следует замкнутость $-A+K$ с областью определения $D(A)$ и то, что $A-K$ секториальный (см. Теорему 1.3.2 из D. Henry, Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations).

demolishka в сообщении #1493922 писал(а):
Если $K \mathbb{H}_{1+\alpha} \subset \mathbb{H}_{\alpha}$,

Тут тоже можно и без этого (см. теорему 1.4.8 у D. Henry).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group