Параболическое уравнение с возмущенным оператором

[demolishka]

Пусть $A \colon \mathcal{D}(A) \subset \mathbb{H} \to \mathbb{H}$ есть самосопряженный положительно-определенный оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве $\mathbb{H}$ и такой, что $A^{-1} \colon \mathbb{H} \to \mathbb{H}$ компактен. Рассмотрим шкалу гильбертовых пространств $\mathbb{H}_{\alpha} := \mathcal{D}(A^{\alpha})$ с естественным скалярным произведением. Нам будут интересны $\alpha \in [0,1)$. Хорошо известно, что $-A$ порождает $C_{0}$ полугруппу $G(t)$ в каждом из пространств $\mathbb{H}_{\alpha}$. Рассмотрим теперь ограниченный оператор $K \colon \mathbb{H}_{\alpha} \to \mathbb{H}$. Меня интересуют свойства оператора $-A+K$ и задачи Коши для уравнения $\dot{v}(t)=(-A+K)v(t)$.

Тут сразу можно показать, используя сглаживающую оценку

$$\| G(t) \|_{\mathbb{H} \to \mathbb{H}_{\alpha}} \leq \left(\frac{\alpha}{e}\right)^{\alpha} t^{-\alpha},$$

что оператор $-A+K$ порождает $C_{0}$-полугруппу $G_{K}(t)$ в $\mathbb{H}_{\alpha}$ такую, что

$$G_{K}(t)v_{0} = G(t)v_{0} + \int_{0}^{t} G(t-s)KG_{K}(s)v_{0}ds.$$

Вопрос 1. В каких случаях $-A+K$ также порождает $C_{0}$-полугруппу в $\mathbb{H}$? Тут я не смог придумать ничего лучше, чем потребовать, чтобы $K$ коммутировал с $G(t)$ в смысле $G(t)K=KG(t)$. Тогда опять можно использовать формулу выше и сглаживающую оценку для определения $G_{K}(t)$ (получить оценку $|G_{K}(t)v|_{\mathbb{H}} \leq C |v|_{\mathbb{H}}$ для $v \in \mathbb{H}_{\alpha}$, а дальше продолжить в $\mathbb{H}$ по непрерывности). Типичный пример: $-A=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}$ с однородными условиями Дирихле на $[0,1]$ и $K=\frac{\partial}{\partial x}$ при $\alpha = 1/2$. Есть ли более общие условия?

Вопрос 2. Что можно сказать про область определения $-A+K$ как генератора $C_{0}$-полугруппы в $\mathbb{H}$ (если он её порождает конечно). Я вроде бы умею доказывать, что $\mathcal{D}(A)$ лежит и плотно в $\mathcal{D}(-A+K)$ в норме графика $-A+K$ (которая слабее чем норма графика $A$). Действительно ли бывают случаи, когда $\mathcal{D}(-A+K)$ не совпадает с $\mathcal{D}(A)$ (или, что равносильно, нормы графиков $A$ и $-A+K$ не эквивалентны)?

Вопрос 3. Что можно сказать про спектр оператора $-A+K$ как генератора $C_{0}$-полугруппы в пространствах $\mathbb{H}$ и $\mathbb{H}_{\alpha}$. Одинаков ли он для обоих пространств? Будет ли он также как и у $A$ состоять из собственных значений?

-- 21.11.2020, 20:19 --

demolishka в сообщении #1493601 писал(а):

Что можно сказать про область определения $-A+K$ как генератора $C_{0}$-полугруппы в $\mathbb{H}$

Здесь наверное можно так: уравнение $(-A-pI+K)v = w$ при $p$ не из спектра $-A$ можно переписать как $v=(A+pI)^{-1}Kv + (A+pI)^{-1}w$. Тогда оно однозначно разрешимо в $v \in \mathcal{D}(A)=\mathbb{H}_{1}$ при всех $w \in \mathbb{H}$ если выполнено $\|(A+pI)^{-1}\|_{\mathbb{H} \to \mathbb{H}_{1}} \cdot \| K \|_{\mathbb{H}_{\alpha} \to \mathbb{H}} < 1$. Это условие выполнено для $p=\nu + i\omega$ когда $\omega$ достаточно велико и $\nu$ больше показателя роста полугруппы $G_{K}(t)$ в $\mathbb{H}$ (чтобы точно попасть в резольвентное множество). Раз нам для обращения достаточно брать $v \in \mathcal{D}(A)$, а меньше быть не может, то $\mathcal{D}(A)=\mathcal{D}(-A+K)$.

[demolishka]

demolishka в сообщении #1493601 писал(а):

Вопрос 3. Что можно сказать про спектр оператора

Если $K \mathbb{H}_{1+\alpha} \subset \mathbb{H}_{\alpha}$, то аналогично замечанию выше можно показать, что генератор $G_{K}(t)$ в $\mathbb{H}_{\alpha}$ это $-A+K$ с областью определения $\mathbb{H}_{1+\alpha}$. Тогда резовельнта генераторов в $\mathbb{H}$ и $\mathbb{H}_{\alpha}$ компактна в силу компактности вложений $\mathbb{H}_{1} \subset \mathbb{H}$ и $\mathbb{H}_{1+\alpha} \subset \mathbb{H}_{\alpha}$ и спектр дискретный. Отсюда легко получить совпадение спектров т. к. собственные векторы лежат в $\mathbb{H}_{\infty} = \bigcap_{\alpha > 0} \mathbb{H}_{\alpha}$.

demolishka в сообщении #1493601 писал(а):

Вопрос 1. В каких случаях $-A+K$ также порождает $C_{0}$-полугруппу в $\mathbb{H}$?

Здесь можно еще добавить случай, когда $K$ продолжается до ограниченного оператора в $\mathbb{H} \to \mathbb{H}$ и случай суммы такого ограниченного и коммутирующего.

[demolishka]

demolishka в сообщении #1493601 писал(а):

В каких случаях $-A+K$ также порождает $C_{0}$-полугруппу в $\mathbb{H}$?

На самом деле всегда. Так как $|Kv| \leq C |A^{\alpha}v| \leq \varepsilon C |Av| + K(C,\varepsilon) |v|$ в силу интерполяционного тождества и неравенства Юнга. Отсюда следует замкнутость $-A+K$ с областью определения $D(A)$ и то, что $A-K$ секториальный (см. Теорему 1.3.2 из D. Henry, Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations).

demolishka в сообщении #1493922 писал(а):

Если $K \mathbb{H}_{1+\alpha} \subset \mathbb{H}_{\alpha}$,

Тут тоже можно и без этого (см. теорему 1.4.8 у D. Henry).