Пример нестандартной параметризации плоской кривой

[Alexander Frumkin]

Привести пример инъективного и непрерывного отображения числового отрезка в плоскость, которое имеет разрывное обратное отображение. В ряде учебников условие непрерывности обратного отображения входит в определение непрерывной кривой. Но где типичный пример того, что это условие может не выполняться?

[Mikhail_K]

Alexander Frumkin в сообщении #1493483 писал(а):

Привести пример инъективного и непрерывного отображения числового отрезка в плоскость, которое имеет разрывное обратное отображение.

Что, именно такая формулировка задания?
Такой пример привести невозможно.
Разве что если под "числовым отрезком" понимается вообще промежуток, например если годится полуинтервал. Тогда можно.

[Alexander Frumkin]

Добрый день!
Благодарю за подсказку к решению моей задачи.
Если промежуток $ [a, b) $ полузамкнут, то мы можем построить непрерывную параметризацию $X(t)$ «почти петли», такую, что при $t \rightarrow b$ $X(t)$ стремится к $X(a)$. Тогда в начальной точке $a$ обратная для $X$ функция будет разрывной.
Если промежуток $[a,b]$ замкнут, нужный мне пример действительно невозможно придумать. Предположим противное: для некоторой точки $c$ из $(a,b)$ функция обратная к $X$, имеет разрыв в точке $C=X(c)$. Тогда по определению разрыва мы можем найти $\varepsilon>0$, обладающее свойством: в промежутках $[a,c-\varepsilon]$, $[c+\varepsilon,b]$ найдется последовательность $t_n$, такая, что предел $X(t_n)$ есть $C$. Но $t_n$ должна иметь в объединении $[a,c-\varepsilon]$ и $[c+\varepsilon,b]$ некоторую предельную точку $s$. А так как $X$ непрерывна, то $X(s)=C=X(c)$, что противоречит инъективности $X$.

[Mikhail_K]

Alexander Frumkin
Верно. Фактически, в своём рассуждении Вы пользуетесь компактностью отрезка $[a,b]$.
Согласно известной теореме (доказательство которой в частном случае отрезка Вы и написали), непрерывное взаимно-однозначное отображение компактного множества (в метрическое или даже в хаусдорфово топологическое пространство) имеет непрерывное обратное.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»