Хм, я не уверен, что Вы сможете извлечь что-то полезное для себя из подхода Эрдеша (тема данного топика).
С помощью рядов Дирихле он доказал лишь формулу. Ну, или по-другому, указал производящую функцию для тех самых плотностей, существование которых, в сущности, ПОСТУЛИРУЕТСЯ. Вот в чем дело. Кроме этого, еще имеется "приличная" оценка сверху для "текущей" плотности
.А дальше работает тауберова теорема Х.-Л.
Ну, в самом деле, пусть для всякого
существует плотность (ПОСТУЛИРУЕМ!)
Тогда с помощью частного суммирования легко получаем
Пусть
Тогда из всей той затеи с рядами Дирихле получаем
А значит по т.Х.-Л.
Таким образом, имеем сходимость коэффициентов в ряде Тейлора. Значит сходится и "усеченный" ряд (до какой-то фиксированной степени). А хвост оценивается с помощью оценки сверху для промежуточных плотностей. Равенство доказано.
Но ведь Вам не это нужно. Вам нужна сходимость, а уж к чему --- не так важно (или Вам это и надо?). В данном случае сходимость вытекает из оценки сверху для "хвостов" и существования плотностей. Но это весьма простое рассуждение. С его помощью Вы вряд ли получите "солидный" результат.