2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Как осуществили переход к косинусу ?
Сообщение20.11.2020, 15:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7284
Москва
В общем, непонятно. В левой части стоит сумма величин, которые комплексны, причём действительное значение принимают при $x=0$ (лямбды положительны, как сказано). В правой действительное число. И таинственный знак $\pm$, который может употребляться, чтобы не писать формулу дважды, для плюса и для минуса, но тогда он должен быть и в правой части.
Варианты:
1. Пропущено Re, так что на самом деле берётся лишь действительная часть.
2. Очень специальный подбор лямбд, так что в ходе суммирования мнимые части взаимопогашаются. Но уж очень специальный.
3. $\pm$ подразумевает, что у нас на самом деле по два слагаемых на каждое r, положительное и отрицательное значения показателя, так что действительные части остаются, а мнимые погашаются. Но тогда откуда взялся фазовый сдвиг, причём для него нет слева "источника происхождения"?
Ещё раз - можно подробнее, откуда это взялось? Ссылку на книгу, или набрать здесь, помимо формулы, связанные с ней рассуждения и вообще контекст.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как осуществили переход к косинусу ?
Сообщение21.11.2020, 18:53 


30/06/18
44
Евгений Машеров
Цитата:
Ещё раз - можно подробнее, откуда это взялось? Ссылку на книгу, или набрать здесь, помимо формулы, связанные с ней рассуждения и вообще контекст.

Набирать формулы здесь терпения мне не хватит(неприязнь к латексу), так что могу лишь предоставить информацию о том,где искать: Дж.Н.Шарма ,К.Сингх - Уравнения в частных производных для инженеров( стр 76, пример 2.3.2)
https://static4.fileskachat.com/download/c/5/20150_3a1421847311f5401c831a370583ca9f.djvu

 Профиль  
                  
 
 Re: Как осуществили переход к косинусу ?
Сообщение21.11.2020, 18:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
1834
/dev/zero

(Оффтоп)

Asphy в сообщении #1493610 писал(а):
неприязнь к латексу

Аллергия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как осуществили переход к косинусу ?
Сообщение21.11.2020, 18:59 


30/06/18
44
StaticZero

(Оффтоп)

Скорее всего :) Первый раз все-таки...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как осуществили переход к косинусу ?
Сообщение21.11.2020, 19:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7284
Москва
Понятно. "Вариант 3". По два слагаемых для каждого r, с положительным и отрицательным показателями степени каждый. Что до эпсилонов - похоже "ввели для общности", чтобы потом показать, что "$\varepsilon_r=0$ при всех r"

 Профиль  
                  
 
 Re: Как осуществили переход к косинусу ?
Сообщение21.11.2020, 20:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3644
Судя по тексту, присутствуют оба слагаемых, но, вообще говоря, каждое со своим коэффициентом, то есть $A_r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda_rx}+A'_r\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lambda_rx}$, поэтому нужен сдвиг (который не удастся подобрать, если один из коэффициентов равен $0$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Как осуществили переход к косинусу ?
Сообщение21.11.2020, 21:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7284
Москва
Коэффициент А мне видится один. Нет А'. Ну и по тексту обсуждаемого учебника далее показывается, что сдвиг в действительности равен нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как осуществили переход к косинусу ?
Сообщение21.11.2020, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3644
Но по смыслу происходящего коэффициенты не зависят друг от друга. Сдвиг получается равным нулю, потому что в начальном условии $\cos y$, а не какой-нибудь $\cos(y+\varphi)$.

Я вообще не понимаю, зачем они заморачивались с этими сдвигами. Писали бы $A_r\mathrm{e}^{-\lambda_rx+\mathrm{i}\lambda_ry}+B_r\mathrm{e}^{-\lambda_rx-\mathrm{i}\lambda_ry}$ или $C_r\mathrm{e}^{-\lambda_rx}\cos\left(\lambda_ry\right)+D_r\mathrm{e}^{-\lambda_rx}\sin\left(\lambda_ry\right)$, как везде делают, и никаких вопросов бы не возникало.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как осуществили переход к косинусу ?
Сообщение22.11.2020, 00:57 


30/06/18
44
Евгений Машеров
Евгений Машеров в сообщении #1493638 писал(а):
Коэффициент А мне видится один. Нет А'. Ну и по тексту обсуждаемого учебника далее показывается, что сдвиг в действительности равен нулю.

RIP И все-таки коэффициенты разные или одинаковые (речь об А и А')? Изначально ведь в решении задачи Аr появляется независимо от коэффициентов а и b и почему при разделении экспоненты вдруг меняются коэффициенты перед ней?
RIP в сообщении #1493665 писал(а):
Я вообще не понимаю, зачем они заморачивались с этими сдвигами. Писали бы $A_r\mathrm{e}^{-\lambda_rx+\mathrm{i}\lambda_ry}+B_r\mathrm{e}^{-\lambda_rx-\mathrm{i}\lambda_ry}$ или $C_r\mathrm{e}^{-\lambda_rx}\cos\left(\lambda_ry\right)+D_r\mathrm{e}^{-\lambda_rx}\sin\left(\lambda_ry\right)$, как везде делают, и никаких вопросов бы не возникало.


Не могли бы Вы объяснить, почему не так: $A_r\mathrm{e}^{-\lambda_rx+\mathrm{i}\lambda_ry}+A_r\mathrm{e}^{-\lambda_rx-\mathrm{i}\lambda_ry}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как осуществили переход к косинусу ?
Сообщение22.11.2020, 08:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7284
Москва
Asphy в сообщении #1493676 писал(а):
Евгений Машеров в сообщении #1493638

писал(а):
Коэффициент А мне видится один. Нет А'. Ну и по тексту обсуждаемого учебника далее показывается, что сдвиг в действительности равен нулю.
RIP И все-таки коэффициенты разные или одинаковые (речь об А и А')? Изначально ведь в решении задачи Аr появляется независимо от коэффициентов а и b и почему при разделении экспоненты вдруг меняются коэффициенты перед ней?


Если бы были разные - справа мнимая часть была бы ненулевая. Тут можно представить, как некий механизм (что-то подобное я видел в вычислительном блоке прицела "Шилки", механическом компьютере). Вращается диск со шпеньком, двигающим две линейки - одна снимает проекцию шпенька на ось Х, другая на У, первая выдаёт косинус угла поворота, вторая синус. Но у нас выдаётся их сумма, только синусная составляющая умножена на i, чтобы компоненты были "нераздельны и неслиянны". И чтобы не вводить взятие действительной части, вместо этого ввели второй ротатор, вращающийся в противоположную сторону на тот же угол, и после суммирования сигналов с обоих ротаторов действительная часть удвоилась (поэтому справа не A, а B, хотя в данном частном случае можно было бы написать 2A, но, видимо, решили дать "с максимальной общностью", как и при вводе фазы, которая оказывается нулевой).

 Профиль  
                  
 
 Re: Как осуществили переход к косинусу ?
Сообщение22.11.2020, 16:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3644
Asphy в сообщении #1493676 писал(а):
Не могли бы Вы объяснить, почему не так: $A_r\mathrm{e}^{-\lambda_rx+\mathrm{i}\lambda_ry}+A_r\mathrm{e}^{-\lambda_rx-\mathrm{i}\lambda_ry}$
Потому что $\mathrm{e}^{-\lambda_rx+\mathrm{i}\lambda_ry}$ и $\mathrm{e}^{-\lambda_rx-\mathrm{i}\lambda_ry}$ — линейно независимые решения. Там упоминается общее решение, поэтому нужно брать произвольную линейную комбинацию, а не только с равными коэффициентами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как осуществили переход к косинусу ?
Сообщение22.11.2020, 21:21 


30/06/18
44
Всем спасибо за ответы! Ситуация окончательно прояснилась

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group