Как осуществили переход к косинусу ?

[Евгений Машеров]

В общем, непонятно. В левой части стоит сумма величин, которые комплексны, причём действительное значение принимают при $x=0$ (лямбды положительны, как сказано). В правой действительное число. И таинственный знак $\pm$, который может употребляться, чтобы не писать формулу дважды, для плюса и для минуса, но тогда он должен быть и в правой части.
Варианты:
1. Пропущено Re, так что на самом деле берётся лишь действительная часть.
2. Очень специальный подбор лямбд, так что в ходе суммирования мнимые части взаимопогашаются. Но уж очень специальный.
3. $\pm$ подразумевает, что у нас на самом деле по два слагаемых на каждое r, положительное и отрицательное значения показателя, так что действительные части остаются, а мнимые погашаются. Но тогда откуда взялся фазовый сдвиг, причём для него нет слева "источника происхождения"?
Ещё раз - можно подробнее, откуда это взялось? Ссылку на книгу, или набрать здесь, помимо формулы, связанные с ней рассуждения и вообще контекст.

[Asphy]

Евгений Машеров

Цитата:

Ещё раз - можно подробнее, откуда это взялось? Ссылку на книгу, или набрать здесь, помимо формулы, связанные с ней рассуждения и вообще контекст.

Набирать формулы здесь терпения мне не хватит(неприязнь к латексу), так что могу лишь предоставить информацию о том,где искать: Дж.Н.Шарма ,К.Сингх - Уравнения в частных производных для инженеров( стр 76, пример 2.3.2)
https://static4.fileskachat.com/download/c/5/20150_3a1421847311f5401c831a370583ca9f.djvu

[StaticZero]

(Оффтоп)

Asphy в сообщении #1493610 писал(а):

неприязнь к латексу

Аллергия?

[Asphy]

StaticZero

(Оффтоп)

Скорее всего :) Первый раз все-таки...

[Евгений Машеров]

Понятно. "Вариант 3". По два слагаемых для каждого r, с положительным и отрицательным показателями степени каждый. Что до эпсилонов - похоже "ввели для общности", чтобы потом показать, что "$\varepsilon_r=0$ при всех r"

[RIP]

Судя по тексту, присутствуют оба слагаемых, но, вообще говоря, каждое со своим коэффициентом, то есть $A_r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda_rx}+A'_r\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\lambda_rx}$, поэтому нужен сдвиг (который не удастся подобрать, если один из коэффициентов равен $0$).

[Евгений Машеров]

Коэффициент А мне видится один. Нет А'. Ну и по тексту обсуждаемого учебника далее показывается, что сдвиг в действительности равен нулю.

[RIP]

Но по смыслу происходящего коэффициенты не зависят друг от друга. Сдвиг получается равным нулю, потому что в начальном условии $\cos y$, а не какой-нибудь $\cos(y+\varphi)$.

Я вообще не понимаю, зачем они заморачивались с этими сдвигами. Писали бы $A_r\mathrm{e}^{-\lambda_rx+\mathrm{i}\lambda_ry}+B_r\mathrm{e}^{-\lambda_rx-\mathrm{i}\lambda_ry}$ или $C_r\mathrm{e}^{-\lambda_rx}\cos\left(\lambda_ry\right)+D_r\mathrm{e}^{-\lambda_rx}\sin\left(\lambda_ry\right)$, как везде делают, и никаких вопросов бы не возникало.

[Asphy]

Евгений Машеров

Евгений Машеров в сообщении #1493638 писал(а):

Коэффициент А мне видится один. Нет А'. Ну и по тексту обсуждаемого учебника далее показывается, что сдвиг в действительности равен нулю.

RIP И все-таки коэффициенты разные или одинаковые (речь об А и А')? Изначально ведь в решении задачи Аr появляется независимо от коэффициентов а и b и почему при разделении экспоненты вдруг меняются коэффициенты перед ней?

RIP в сообщении #1493665 писал(а):

Я вообще не понимаю, зачем они заморачивались с этими сдвигами. Писали бы $A_r\mathrm{e}^{-\lambda_rx+\mathrm{i}\lambda_ry}+B_r\mathrm{e}^{-\lambda_rx-\mathrm{i}\lambda_ry}$ или $C_r\mathrm{e}^{-\lambda_rx}\cos\left(\lambda_ry\right)+D_r\mathrm{e}^{-\lambda_rx}\sin\left(\lambda_ry\right)$, как везде делают, и никаких вопросов бы не возникало.

Не могли бы Вы объяснить, почему не так: $A_r\mathrm{e}^{-\lambda_rx+\mathrm{i}\lambda_ry}+A_r\mathrm{e}^{-\lambda_rx-\mathrm{i}\lambda_ry}$

[Евгений Машеров]

Asphy в сообщении #1493676 писал(а):

Евгений Машеров в сообщении #1493638

писал(а):
Коэффициент А мне видится один. Нет А'. Ну и по тексту обсуждаемого учебника далее показывается, что сдвиг в действительности равен нулю.
RIP И все-таки коэффициенты разные или одинаковые (речь об А и А')? Изначально ведь в решении задачи Аr появляется независимо от коэффициентов а и b и почему при разделении экспоненты вдруг меняются коэффициенты перед ней?

Если бы были разные - справа мнимая часть была бы ненулевая. Тут можно представить, как некий механизм (что-то подобное я видел в вычислительном блоке прицела "Шилки", механическом компьютере). Вращается диск со шпеньком, двигающим две линейки - одна снимает проекцию шпенька на ось Х, другая на У, первая выдаёт косинус угла поворота, вторая синус. Но у нас выдаётся их сумма, только синусная составляющая умножена на i, чтобы компоненты были "нераздельны и неслиянны". И чтобы не вводить взятие действительной части, вместо этого ввели второй ротатор, вращающийся в противоположную сторону на тот же угол, и после суммирования сигналов с обоих ротаторов действительная часть удвоилась (поэтому справа не A, а B, хотя в данном частном случае можно было бы написать 2A, но, видимо, решили дать "с максимальной общностью", как и при вводе фазы, которая оказывается нулевой).

[RIP]

Asphy в сообщении #1493676 писал(а):

Не могли бы Вы объяснить, почему не так: $A_r\mathrm{e}^{-\lambda_rx+\mathrm{i}\lambda_ry}+A_r\mathrm{e}^{-\lambda_rx-\mathrm{i}\lambda_ry}$

Потому что $\mathrm{e}^{-\lambda_rx+\mathrm{i}\lambda_ry}$ и $\mathrm{e}^{-\lambda_rx-\mathrm{i}\lambda_ry}$ — линейно независимые решения. Там упоминается общее решение, поэтому нужно брать произвольную линейную комбинацию, а не только с равными коэффициентами.

[Asphy]

Всем спасибо за ответы! Ситуация окончательно прояснилась