Равенство выглядит как теорема о НОД, но в той теореме в правой части стоит НОД. Можем ли мы сказать, что равенство справедливо не только для наибольшего общего делителя, но и для любого делителя двух многочленов? Думаю, что нет, т.к.

не общий делитель

и

.
И заодно по поводу этого. То, что вы здесь пишите ("Равенство выглядит как теорема о НОД", "Можем ли мы сказать" и "Думаю...") говорит о том, что, как мне кажется, вы не вполне понимаете теорему о НОД для многочленов.
В первом посте вы сформулировали ее так:
Если

есть наибольший общий делитель многочленов

и

, то можно найти такие многочлены

и

, что
и потом вы пишите.
В теореме говорится о необходимости, но не достаточности, т.е. автор не говорит, что в случае возможности найти

и

многочлен

будет максимальным общим делителем (или хоть каким-то делителем) для

и

.
У Куроша в "Курсе высшей алгебры" (ИМХО не лучший учебник, но сейчас об этом не будем) в самом деле данная формулировка начинается с "Если

есть наибольший общий делитель..." Но если вы посмотрите у него выше алгоритм Евклида, то там как раз и доказывается, что у любых двух многочленов всегда есть НОД. Т.е. там просто не очень удачно сформулирована итоговая теорема о НОД. Лучше было бы "Для любых

и

можно найти такие

и

, что

будет НОД

и

" и тогда сразу бы покрывались оба утверждения: и о наличии НОД и о том, как его можно выразить через

и

.
И далее давайте тоже пройдем по последовательным простым шагам:
1) Очевидно, что в равенстве

при неких произвольных

и

многочлен

совсем не обязан быть не только НОД, но и просто общим делителем

и

. Можно же умножить обе части на какой-то многочлен, который не будет делителем

и

, и тогда то, что получится справа - заведомо не будет делителем

и

. Все что мы можем сказать о

в общей ситуации это то, что он делится на все общие делители

и

. (Левая часть на них делится без остатка, значит и правая часть должна делиться без остатка).
2) НО ПРИ ЭТОМ если в

при каких-то

и

вдруг оказалось, что

является общим делителем

и

, то он будет их НОД. Мы же п.1 выяснили, что он делится на все другие общие делители

и

, а значит это и есть НОД по самому определению НОД.
Значит ни для каких других делителей

многочленов

и

кроме НОД равенства

быть не может.
Обратите внимание, что в п.1 и п.2 теорема о НОД никак не используется. Это все было бы верно, даже если бы мы про нее ничего не знали. Но ее польза состоит в том, что, как оказывается, можно подобрать такие

и

, что

будет НОД для

и

3) А теперь уже используем НОД в отношении ситуации для взаимно простых многочленов:
- Для взаимно простых

и

можно подобрать такие

и

, что

(где под

понимается многочлен нулевой степени)
- При этом из п. 1 и 2 мы выяснили, что в этой ситуации никакие другие многочлены в правой части не будут НОД.
- Вот так и получаем, что равенство

, при некоторых

и

может быть тогда и только тогда, когда

и

взаимно просты.